Teoria Numeros C Ivorra Castillo

7.4. Series en cuerpos no arquimedianos 175
Ejercicio: Probar que aunque las series ∑
no tiene por qué converger.
i∈I n
α i y
∞∑ ∑
n=0
Ahora es claro el teorema del producto de series, es decir,
∑ (∑ )(∑
α i β j = α i β j
),
(i,j)∈I×J
i∈I j∈J
i∈I n
α i converjan, la serie ∑ i∈I
donde la serie de la izquierda converge si convergen las dos series de la derecha.
En efecto, la convergencia es obvia, y aplicando el teorema anterior,
∑
α i β j = ∑ (∑ )
α i β j = ∑ (∑ )) (∑ )(∑
(α i β j = α i β j
).
(i,j)∈I×J i∈I j∈J
i∈I j∈J
i∈I j∈J
α i
Definición 7.23 Si A es un anillo, se llama A[[x]] al anillo de las series formales
de potencias sobre A, es decir, de las series de la forma
∞∑
a n x n a n ∈ A.
n=0
Las operaciones en A[[x]] son
∞∑
∞∑
a n x n + b n x n =
n=0
n=0
( ∑ ∞ ∞
a n x n)( ∑
b n x n) =
n=0
n=0
∞∑
(a n + b n )x n ,
n=0
∞∑ ( ∑ n
a k b n−k
)x n .
De este modo, si K es un cuerpo completo no arquimediano y dos series de
potencias convergen en un x ∈ K, entonces las series suma y producto en K[[x]]
convergen a la suma y el producto de los límites respectivamente. Es conocido
que lo mismo es cierto para K = C.
Ejercicio: Probar que una serie de potencias en un cuerpo completo no arquimediano
K converge en todo K, o bien en un disco |x|