Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.6. El cálculo de L(1,χ) 293
Según lo dicho, esto prueba que una unidad fundamental es ɛ =1+ √ 2,
luego el regulador es
R = log ( 1+ √ 2 ) 2
= 2 log
(
1+
√
2
)
.
Por último, los caracteres no principales módulo 8 son los tres caracteres
cuadráticos δ, ɛ, δɛ definidos en 9.6, y que se corresponden respectivamente con
los cuerpos Q(i), Q (√ 2 ) y Q (√ −2 ) . Según 11.26, el número de clases que
buscamos es
8 · 16
h =
(2π) 2 · 2 log ( 1+ √ 2 )L(1,δ)L(1,ɛ)L(1,δɛ).
Por otra parte, la fórmula del teorema 11.11 nos permite calcular fácilmente
L(1,δ)= π 4 , L(1,ɛ)=log( 1+ √ 2 )
√ , L(1,δɛ)= √ π .
2 8
Concluimos que h =1.
Ejercicio: Llegar al mismo resultado por las técnicas del capítulo IV.
Veamos ahora una técnica mucho más eficiente para el cálculo de funciones L
en 1. Dado un carácter modular no principal χ, que podemos suponer primitivo,
en primer lugar agrupamos los sumandos de la serie L(s, χ) según las clases de
U m , donde m es el conductor de χ. Trabajamos con s>1, de modo que la serie
converge absolutamente y las reordenaciones son lícitas:
L(s, χ) =
∞∑
n=1
χ(n)
n s
= ∑ C
χ(C)
∞∑
n=1
a n
n s ,
donde
{
1 si n ∈ C
a n =
0 si n/∈ C
Ahora consideramos el carácter ψ de Z/nZ determinado por ψ(1) = ω, donde
ω = cos(2π/m)+i sen(2π/m), y notamos que por las relaciones de ortogonalidad
Por consiguiente
(ψ r , 1) = 1 m
m−1
∑
k=0
ω rk =
m−1
∑
{ 1 si m | r
0 si m ∤ r
a n = 1 ω (r−n)k ,
m
k=0
donde r ∈ C y, volviendo a la función L,
L(s, χ) = ∑ ∞∑
m−1
1 ∑
χ(r)
ω (r−n)k 1 m
n s = 1 m−1
∑ ( ∑
χ(r)ω rk) ∑
∞ ω −nk
m
n s ,
r n=1 k=0
k=0 r
n=1
donde r varía en un conjunto completo de representantes de las clases de U m .
Con esto nos hemos encontrado un concepto famoso en la teoría de números: