Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.2. Productos de Euler 275
Si el grado de K es n, entonces el número de primos que dividen a un mismo
primo racional p es a lo sumo n, luego
G(s) < 2n ∑ p
1
∞
p 2s < 2n ∑
m=1
1
=2nζ(2s).
m2s Esto implica que la función G(s) está acotada en el intervalo ]1, 2]. Pero por
otra parte log ζ K (s) =P (s) +G(s) y el logaritmo tiende a infinito cuando s
tiende a 1, luego la función P (s) no puede estar acotada en ]1, 2]. Sin embargo,
si la serie del enunciado convergiera, como N(p 1 ) ≤ N(p 1 ) s , llegaríamos a que
para todo s>1.
P (s) = ∑ p 1
1
N(p 1 ) s ≤ ∑ p 1
1
N(p 1 ) ,
La prueba del teorema de Dirichlet se basa en un argumento similar al anterior,
pero hay que separar los primos según la clase de similitud a la que
pertenecen, y esto requiere un análisis más fino de la fórmula de Euler, lo cual
a su vez requiere algunos conceptos nuevos. Sin embargo, sí estamos en condiciones
de exponer los resultados análogos para cuerpos cuadráticos, lo que nos
servirá de orientación para el caso ciclotómico, un poco más complicado.
Consideremos la fórmula de Euler generalizada para un cuerpo cuadrático
K y en ella agrupemos los primos que dividen a un mismo primo racional, es
decir,
ζ K (s) = ∏ ∏ 1
1 − 1 .
p
N(p) s
Para cada primo p, el producto asociado puede ser de tres tipos:
p|p
1
1 − 1
p 2s =
1 1
1 − 1 p
1 − 1 si p se escinde,
s p
1 1
s
1 − 1 p
1+ 1 si p se conserva,
s p
1
s
1 − 1 si p se ramifica.
p s
Ahora observamos que los tres casos se engloban en la fórmula
1 1
1 − 1 .
p s 1 − χ K(p)
p s
Por lo tanto
ζ K (s) = ∏ p
1 ∏
1 − 1 p s
p
1
1 − χ K(p)
p s
= ζ(s) ∏ p
1
,
1 − χ K(p)
p s