Teoria Numeros C Ivorra Castillo

84 Capítulo 4. Métodos geométricos
luego, según lo que hemos probado, los trasladados de (1/2)A no son disjuntos
dos a dos, sino que existen x, x ′ ∈ M tales que x ≠ x ′ y
( 1 x +
2 A) ∩ ( x ′ + 1 2 A) ≠ ∅.
Existen vectores a, a ′ ∈ A tales que x +(1/2)a = x ′ +(1/2)a ′ , o equivalentemente,
x − x ′ = (1/2)a − (1/2)a ′ . Este vector está enA porque A es
absolutamente convexo, y por otro lado es un elemento no nulo de M.
Observamos que una pequeña variante en la prueba nos da el siguiente resultado
que usaremos después.
Teorema 4.10 Sea M un retículo completo en R n cuyo paralelepípedo fundamental
tenga medida c. SeaY un subconjunto acotado de R n cuyos trasladados
por puntos de M cubran todo R n . Entonces µ(Y ) ≥ c.
Demostración: Razonando como en la primera parte de la prueba del
teorema de Minkowski, ahora los conjuntos Y x ∩ T cubren todo T (sin ser necesariamente
disjuntos), luego
µ(Y )= ∑ x∈M
µ(Y x ∩ T ) ≥ µ(T )=c.
Para aplicar el teorema de Minkowski a los cuerpos numéricos usaremos
el conjunto absolutamente convexo cuyo volumen calculamos a continuación.
Recordar la notación n = s +2t introducida en 4.1.
Teorema 4.11 Para cada número real c>0, el conjunto
X st (c) = { x ∈ R ∣ st |x1 | + ···+ |x s | +2|x s+1 | + ···+2|x s+t |