Teoria Numeros C Ivorra Castillo

338 Capítulo 13. Cuerpos ciclotómicos
para determinar si éste es o no múltiplo de p. Esto nos permite truncar las series
de potencias que definen los logaritmos.
Consideremos el polinomio
L(1 + x) =x − x2
2
Si n ≥ p y v p (α) ≥ 2 entonces
( ) α
n
v p
n
+ ···+(−1)p−2
xp−1
p − 1 .
≥ 2n − v p (n) ≥ 2n − (p − 1) log n
log p
n(p − 1) log n
≥ p +(n − p)+n −
≥ p +(n − p)+
(p − 1)n
log p
n − 1
log p
( log p
p − 1 − log n
n − 1
)
≥ p,
(donde usamos que la función t/(t − 1) es monótona decreciente para t ≥ 2).
Esto significa que la diferencia entre log(1 + α) yL(1 + α) es una suma de
múltiplos de π p , es decir, log(1 + α) ≡ L(1 + α) (mód π p ). Esto es aplicable a
las unidades principales reales, luego
log(θ p−1
k
) ≡ L(θ p−1
k
) (mód π p ). (13.11)
Comenzaremos probando que los logaritmos truncados tienen las mismas
propiedades algebraicas que los logaritmos usuales si trabajamos módulo π p .
Usaremos también la exponencial truncada
E(x) =1+ x 1! + x2
2!
+ ···+
xp−1
(p − 1)! . (13.12)
Notemos que si ɛ ≡ 1 (mód π) entonces L(ɛ) ≡ 0(mód π) y, recíprocamente,
si α ≡ 0 (mód π) entonces E(α) ≡ 1 (mód π). Veamos ahora otros hechos
elementales:
Teorema 13.16 Se cumplen las propiedades siguientes:
1. Si ɛ ≡ 1 (mód π) entonces E(L(ɛ)) ≡ ɛ (mód π p ).
2. Si α ≡ 0 (mód π) entonces L(E(α)) ≡ α (mód π p ).
3.Siα 1 ≡ α 2 ≡ 0 (mód π), entonces
4. Si ɛ 1 ≡ ɛ 2 ≡ 1 (mód π), entonces
E(α 1 + α 2 ) ≡ E(α 1 )E(α 2 )(mód π p ).
L(ɛ 1 ɛ 2 ) ≡ L(ɛ 1 )+L(ɛ 2 )(mód π p ).