Teoria Numeros C Ivorra Castillo

10 Capítulo 1. Introducción a la teoría algebraica de números
Sería difícil explicar aquí en poco espacio la importancia teórica de estos
hechos, pero la tienen. Lo que sí podemos mostrar fácilmente (aunque no sea
lo más importante) es que la ley de reciprocidad permite calcular fácilmente
cualquier símbolo de Legendre. Por ejemplo,
( ) 15
71
( )( ( )( )
3 5 71 71
=
= −
71 71)
3 5
( )( 2 1
= −
=1,
3 5)
donde alternativamente hemos aplicado la ley de reciprocidad para invertir los
símbolos y hemos reducido los ‘numeradores’ módulo los ‘denominadores’.
Pero destaquemos ante todo que la Ley de Reciprocidad es lo más opuesto
a un resultado elemental. Si el lector reflexiona sobre lo que significa que un
primo p sea un resto cuadrático módulo q y que q sea un resto cuadrático
módulo p, seguro que no encuentra ninguna conexión, por mínima que sea, que
le pueda sugerir un intento de prueba (a no ser que ya esté familiarizado con
la teoría de números). Pese a ello ahí tenemos una relación que además resulta
ser sorprendentemente simple en cuanto a su enunciado. Hoy se conoce casi un
centenar de pruebas distintas de la Ley de Reciprocidad Cuadrática. La primera
demostración que encontró Gauss era muy técnica, hasta el punto de desalentar
a sus mejores alumnos. Poco después encontró otra basada en lo más sutil de
su teoría de formas cuadráticas, esta vez de estructura mucho más simple. Más
tarde encontró otra basada en técnicas analíticas. Se conocen otras debidas a
Dirichlet (que usa análisis de Fourier), a Kronecker (basada en las propiedades
de los enteros ciclotómicos), hay otra de carácter elemental mucho más corta
(basada en argumentos de Gauss), pero la prueba que más ha penetrado en el
contenido de la ley de reciprocidad se debe a Artin, data de mediados del siglo
XX y en esencia la explica en términos de cohomología de grupos.
El camino que lleva desde la ley de reciprocidad de Gauss a la de Artin fue
iniciado por el propio Gauss, quien conjeturó una ley de reciprocidad cúbica y
una bicuadrática, aunque no pudo probarlas. Gauss comprendió que el símbolo
de Legendre no es simplemente una notación cómoda para enunciar la ley de
reciprocidad, sino que el asociar las clases módulo p con las potencias de −1 juega
un papel importante. La razón por la que los números enteros satisfacen una ley
de reciprocidad cuadrática es que Z contiene una raíz cuadrada primitiva de la
unidad, por lo que una ley de reciprocidad cúbica había de buscarse en el cuerpo
Q (√ −3 ) , es decir, el cuerpo ciclotómico tercero, y una ley de reciprocidad
bicuadrática había de buscarse en el cuerpo Q (√ −1 ) , el cuerpo ciclotómico
cuarto. Así lo hizo y las encontró. Precisamente, el anillo Z[i] se conoce como
anillo de los enteros de Gauss a raíz de sus investigaciones sobre la reciprocidad
bicuadrática.
Las primeras demostraciones de las leyes de reciprocidad cúbica y bicuadrática
se deben a Eisenstein, quien encontró además un fragmento de una ley de
reciprocidad p-ésima, estudiando, por supuesto, el anillo de enteros ciclotómicos
de orden p. Kummer compaginó sus investigaciones sobre el Último Teorema de
Fermat con la búsqueda de una ley de reciprocidad general. Ambos problemas
apuntaban hacia los cuerpos ciclotómicos. Sus investigaciones fueron continua-