Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo II
Cuerpos numéricos
El estudio de los cuerpos numéricos está en la base de la teoría algebraica de
números. Toda la teoría que vamos a desarrollar resulta especialmente sencilla y
elegante cuando se aplica al caso de los cuerpos cuadráticos, es decir, los cuerpos
numéricos de grado 2. Comencemos describiendo estos cuerpos.
Si K es un cuerpo cuadrático, la teoría de Galois nos da que tiene un elemento
primitivo, es decir, existe un ζ ∈ K tal que K = Q(ζ). Entonces pol mín ζ tiene
grado 2. Multiplicándolo por una constante obtenemos un polinomio ax 2 +bx+c
con coeficientes enteros con raíz ζ y tal que a ≠ 0. Si llamamos D = b 2 − 4ac,
entonces ζ = −b±√ D
2a
, y es claro que K = Q (√ D ) .
El número D no puede ser un cuadrado perfecto, o de lo contrario K = Q y
su grado sería 1. Digamos que D = m 2 d, donde d es libre de cuadrados (quizá
d = −1). Entonces √ D = m √ d y es evidente que K = Q (√ d ) .
En resumen, todo cuerpo cuadrático es de la forma Q (√ d ) para un entero d
libre de cuadrados. Sus elementos son de la forma Q (√ d ) = {a+b √ d | a, b ∈ Q}.
Pronto veremos que si d ≠ d ′ en estas condiciones, entonces los cuerpos que
determinan son distintos.
En lo sucesivo, cuando digamos que Q (√ d ) es un cuerpo cuadrático se
sobrentenderá √ que d es un √entero libre de cuadrados. Si d