Teoria Numeros C Ivorra Castillo

60 Capítulo 3. Factorización ideal
3.SiN(a) es un número primo, entonces a es un ideal primo.
4. Si a es un ideal primo no nulo, entonces a divide a un único primo racional
p y se cumple que N(a) =p m para cierto natural m menor o igual que el
grado de K.
5. Si α ∈ O K entonces N ( (α) ) = | N(α)|.
6. Sólo un número finito de ideales pueden tener una misma norma.
Demostración: 1) es consecuencia inmediata del teorema 3.14.
2) Por definición, N(a) =|O K /a|. El anillo O/a es en particular un grupo
finito (con la suma) y el orden de cualquier elemento es divisible entre N(a).
Por lo tanto N(a)[1] = [0], lo que equivale a que N(a) ∈ a.
3) Un ideal de norma prima no puede descomponerse en primos (por 1y2),
luego ha de ser primo.
4) Como a | N(a) ya es primo, a debe dividir a uno de los primos racionales
que dividen a N(a). Digamos que a | p. Entonces N(a) | N(p) =p n , donde n es
el grado de K. Consecuentemente, N(a) =p m para un cierto m ≤ n.
Si a dividiera a otro primo q, el mismo argumento nos daría que N(a) habría
de ser potencia de q, lo cual es imposible salvo si q = p.
5) Por el teorema 2.34.
6) Por 2), los ideales de norma m dividen a m y el conjunto de divisores de
m es finito.
Este teorema contiene información relevante a la hora de estudiar los ideales
propios de un anillo de enteros. El apartado 4) nos dice que todo ideal primo
divide a un primo racional, por lo que factorizando los primos racionales se
encuentran todos los ideales primos. La unicidad de 4) implica que los primos
racionales (no asociados) son primos entre sí, de donde se sigue la existencia
de infinitos ideales primos en cada anillo de enteros (al menos uno distinto
para cada primo racional). El apartado 5) muestra que la norma ideal extiende
consistentemente a la norma real.
Ejemplo Consideremos de nuevo el caso de factorización no única (1.2) que
encontramos en el anillo Z [√ −5 ] :
6=2· 3= ( 1+ √ −5 )( 1+ √ −5 ) .
Los cuatro factores son irreducibles, pero no son primos. Como N(2)=4,el
ideal (2) sólo puede descomponerse en producto de dos ideales primos de norma
2, o sea, 2 = p 1 p 2 . Igualmente 3 ha de ser producto de dos ideales de norma 3,
digamos 3 = qr. Por otra parte, los factores de la derecha tienen los dos norma
6, luego han de descomponerse en producto de un ideal de norma 2 por otro de