Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.1. Equivalencia modular 215
• Si D/4 ≡ 0 (mód 8) entonces cada forma de (9.6) sólo representa a los
impares congruentes con r módulo 8, luego determinan cuatro clases de
formas diferentes.
Estas conclusiones se pueden expresar también en términos de caracteres,
sólo que ahora hemos de distinguir entre cuatro clases módulo los cuadrados
y no entre dos. El análogo al símbolo de Legendre serán ahora las funciones
siguientes:
Definición 9.6 Las funciones δ y ɛ, definidas sobre los enteros impares, son las
dadas por
{
δ(k) =(−1) (k−1)/2 1 si k ≡ 1 (mód 4)
=
−1 si k ≡−1 (mód 4)
{
ɛ(k) =(−1) (k2−1)/8 1 si k ≡±1 (mód 8)
=
−1 si k ≡±5 (mód 8)
Podemos considerar a δ y ɛ como funciones en U 8 , y entonces δ distingue a
{1, 5} de {−1, −5}, mientras que ɛ distingue a {1, −1} de {5, −5} y su producto
ɛδ distingue a {1, −5} de {−1, 5}.
Si f es una forma cuadrática de discriminante par D y a es cualquier número
impar representado por f, definimos el carácter módulo 2 de f como
⎧
1 si D/4 ≡ 1, 5(mód 8)
⎪⎨
ɛ(a) si D/4 ≡ 2 (mód 8)
χ 2 (f) =
δ(a) si D/4 ≡ 3, 4, 7 (mód 8)
⎪⎩
δ(a)ɛ(a) si D/4 ≡ 6 (mód 8)
Si D/4 ≡ 0 (mód 8) definimos tres caracteres de f módulo 2, dados por
χ 21 (f) =δ(a), χ 22 (f) =ɛ(a), χ 23 (f) =δ(a)ɛ(a).
Hemos demostrado que estos caracteres no dependen de la elección de a así
como que formas equivalentes módulo p n tienen el mismo carácter (o los mismos
caracteres 1 )módulo p, para todo primo p, por lo que tiene sentido hablar del
carácter de una clase de equivalencia de formas. Además tenemos el resultado
siguiente:
Teorema 9.7 Si p es primo, dos formas cuadráticas de discriminante D son
equivalentes módulo p n si y sólo si tienen el mismo carácter módulo p. Esto
ocurre siempre que p ∤ D.
Para tratar unificadamente todos los casos en la medida de lo posible, conviene
observar que para cada discriminante D y para cada primo p tenemos
definida una función χ ∗ p : U p −→ {±1} si p es impar, o χ ∗ 2 : U 8 −→ {±1} si
1 En lo sucesivo, cuando hablemos del carácter de una forma módulo un primo p habremos
de recordar que si p = 2 puede haber en realidad tres caracteres, si bien no lo indicaremos
explícitamente en cada ocasión para evitar constantes y monótonas salvedades como ésta.