Teoria Numeros C Ivorra Castillo

54 Capítulo 3. Factorización ideal
Teorema 3.7 Sea D un dominio de Dedekind, sean p 1 ,...,p r primos de D y
sean α y β ∈ D no nulos tales que la multiplicidad de cada p i en β sea menor
o igual que en α. Entonces α/β = γ/δ, para ciertos γ, δ ∈ D, demodoque
ningún p i divide a δ.
Demostración: Sea β = p e1
1 ···per r a, donde a no es divisible entre ningún
p i . Por el teorema chino del resto existe un δ ∈ D tal que
δ ≡ 0(mód a), δ ≡ 1 (mód p i ), i =1,...,r.
Esto implica que a | δ y no es divisible entre ningún p i . Por hipótesis β | αδ,
es decir, existe un γ ∈ D tal que αδ = βγ
Es fácil encontrar dominios de factorización única que no sean dominios de
Dedekind. Por ejemplo Z[x] no es un dominio de Dedekind ya que (x) es un ideal
primo no maximal. Recíprocamente veremos que los órdenes maximales de todos
los cuerpos numéricos son dominios de Dedekind y muchos de ellos no tienen
factorización única. Por lo tanto la divisibilidad ideal no es una generalización
de la real, sino que ambas son paralelas. Las dos pueden darse simultáneamente.
Esto ocurre exactamente en los dominios de ideales principales:
Teorema 3.8 Un dominio íntegro D es un dominio de ideales principales si y
sólo si es un dominio de Dedekind y un dominio de factorización única.
Demostración: Es sabido que si D es dominio de ideales principales entonces
tiene factorización única, y todo ideal propio de D es de la forma (c),
donde c no es 0 ni una unidad. Entonces c se descompone en producto de primos
c = p 1 ···p n , con lo que (c) =(p 1 ) ···(p n ) también es producto de ideales
primos. Recíprocamente, una descomposición de (c) en ideales primos da lugar
a una factorización de c, de donde se sigue la unicidad.
Si D es a la vez un dominio de Dedekind y un dominio de factorización única
entonces dado un ideal primo p tomamos un c ∈ p no nulo y lo factorizamos
c = p 1 ···p n en producto de primos. Tenemos que p | c, luego p | p i para
algún i, luego (p i ) ⊂ p y, como los ideales primos son maximales, p =(p i )
es principal, y todo ideal propio de D es principal por ser producto de ideales
primos principales.
El concepto de dominio de factorización única es muy útil en cuanto que
proporciona un gran control sobre los anillos que tienen esta propiedad, pero está
el inconveniente de que no es fácil determinar cuándo se da el caso. En cambio,
el concepto de dominio de Dedekind admite una caracterización algebraica muy
fácil de verificar en la práctica. Veámosla.
Teorema 3.9 (Teorema de Dedekind) Sea D un dominio íntegro y K su cuerpo
de cocientes. Entonces D es un dominio de Dedekind si y sólo si cumple las tres
propiedades siguientes:
1. D es noetheriano.
2. Los ideales primos no nulos de D son maximales.