Teoria Numeros C Ivorra Castillo

8.4. El teorema de Hasse-Minkowski 197
En esta sección demostraremos el teorema de Hasse-Minkowski para formas
de hasta tres variables, con lo que el teorema 8.31 estará probado para formas
binarias. El resto de la prueba requerirá consideraciones adicionales que incluyen
la ley de reciprocidad cuadrática (que probaremos en el capítulo siguiente) y el
teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, que probaremos
en el capítulo XI. Por otra parte, en lo sucesivo sólo necesitaremos los casos que
vamos a probar aquí.
Demostración: (del T ā 8.30 para formas de hasta 3 variables)
Como observación general podemos suponer que la forma cuadrática considerada
es regular, porque las formas singulares representan 0 en todos los
cuerpos. Además una implicación es inmediata.
Cuando el número n de variables es 1 el teorema es trivial: una forma con
una variable nunca representa 0.
Para n = 2 la prueba es muy sencilla: Sea f una forma cuadrática binaria con
coeficientes racionales. Sea d su discriminante. Por el teorema 8.7, f representa
0 en un cuerpo K si y sólo si −d es un cuadrado en K. Como f representa 0 en R,
tenemos −d >0. Sea −d = p k1
1 ···pkr r , donde p 1 ,...,p r son primos (naturales)
distintos y k 1 ,...,k r son enteros racionales. Como −d es un cuadrado en cada
Q pi resulta que cada exponente k i es par, luego −d es un cuadrado en Q.
Observar que los casos n =1, 2 no aportan nada, pues disponemos de criterios
directos para decidir si una forma con una o dos variables representa 0 o
no en Q. En cambio el caso n =3sí aporta información relevante y la prueba
ya no es tan simple.
Pasando a una forma equivalente y multiplicando por un entero racional si
es preciso, podemos suponer que la forma considerada es del tipo ax 2 +by 2 +cz 2
con coeficientes enteros (esto no modifica la representación de 0).
Observar que para aquellos primos p que no dividan a abc los coeficientes
son unidades p-ádicas, y por el teorema 8.22 la forma representa 0 en Q p . Esto
significa que las condiciones del teorema para la representación de 0 en Q son en
realidad un número finito (y esto es válido para formas con cualquier número de
variables). El teorema de Hasse-Minkowski nos da, pues, un criterio explícito
y verificable en un número finito de pasos para saber si una forma cuadrática
representa o no 0 en Q. Para el caso n = 3 tal criterio (en otros términos que
no involucran números p-ádicos) era ya conocido por Legendre.
Puesto que la forma ax 2 + by 2 + cz 2 representa 0 en R, no puede ocurrir que
los tres coeficientes sean del mismo signo. Multiplicando por −1 si es preciso
podemos suponer que dos son positivos y uno negativo. Mediante un cambio de
variables podemos eliminar todos los cuadrados, con lo que podemos suponer
que a, b, c son libres de cuadrados y primos entre sí. Más aún, si dos de ellos
tienen un factor común p, digamos p | a, p | b, entonces multiplicando por p
y eliminando el cuadrado pasamos a una forma con coeficientes a/p, b/p, pc.
Repitiendo este proceso llegamos a una forma ax 2 + by 2 − cz 2 donde a, b, c son
números naturales libres de cuadrados y primos entre sí dos a dos.