Teoria Numeros C Ivorra Castillo

238 Capítulo 9. La teoría de los géneros
Ejemplos Veamos ahora un par de ejemplos de discriminante positivo. Consideremos
la forma x 2 − 2y 2 . Observar que en los casos anteriores, en último
extremo, decidir si una de las formas consideradas representaba a un número
dado podía resolverse en un número finito de pasos dando valores a x e y, pues
los valores posibles estaban acotados. Con esta forma hay infinitas posibilidades.
El discriminante es 8yelnúmero de clases estrictas es 1 (porque la unidad
fundamental tiene norma negativa). U 8 = { [1], [3], [5], [7] } .
Se cumple χ K (1) = χ K (7) = 1 (porque ∆ > 0), luego un número natural
k es de la forma x 2 − 2y 2 si y sólo si su parte libre de cuadrados consta de los
primos 2 y los congruentes con ±1 módulo 8.
En realidad ésta es la condición para que cualquier número natural k esté representado
por cualquier forma de discriminante 8, en particular para que k esté
representado por la forma −x 2 +2y 2 , o sea, para que −k esté representado por
x 2 −2y 2 . Por lo tanto la condición vale para números enteros no necesariamente
positivos.
Vamos a calcular los primos de la forma p = x 2 − 3y 2 . El discriminante es
12 y corresponde al orden maximal de Q (√ 3 ) (es la forma principal). Ahora la
unidad fundamental tiene norma positiva, por lo que hay dos clases de formas
cuadráticas no equivalentes. Un representante de la otra clase es 3x 2 −y 2 (si una
forma representa un primo p no puede representar a −p, o habría una unidad
de norma negativa). Además hay dos géneros, luego buscamos las condiciones
para que un entero p esté representado por el género principal.
La condición del teorema 9.30 es que p =2, 3op ≡±1(mód 12). Para que
p esté representado por una forma del género principal hace falta además que
(p, 12) 3 =(p, 3) 3 = 1. Esto lo cumplen sólo los primos p ≡ 1 (mód 12).
Ejercicio: Determinar los primos de la forma p =3x 2 +2xy +5y 2 . ¿Qué podemos
decir de los primos de la forma p = x 2 +14y 2 ?
En vista de los resultados que hemos obtenido, la teoría de los géneros es
especialmente útil al estudiar formas asociadas a órdenes en los que cada género
contiene una única clase de similitud de ideales. La tabla 9.1 contiene los primeros
discriminantes negativos con esta propiedad junto con los coeficientes
(a, b, c) de formas cuadráticas representantes de cada clase.
El teorema 9.28 nos da el número de representaciones que admite un entero
por formas de un discriminante dado:
Teorema 9.32 Sea O un orden cuadrático y k un número natural primo con
el índice de O. Sea F un conjunto completo de representantes de las clases de
similitud estricta de formas cuadráticas con anillo de coeficientes O. Entonces
el número de representaciones no asociadas de k por formas cuadráticas de F
es exactamente ∑ r|k
χ K (r), donde K es el cuerpo cuadrático asociado a O.
En particular, si el orden es imaginario, el número total de soluciones de las
ecuaciones f(x, y) =k cuando f recorre F es u ∑ r|k
χ K (r), donde u es el número
de unidades de O.