Teoria Numeros C Ivorra Castillo

12.3. El signo de las sumas cuadráticas 309
Las sumas de Gauss tienen aplicaciones muy diversas en teoría de números.
Entre otras cosas, permiten calcular el número de soluciones de ciertas congruencias,
permiten obtener generalizaciones de la ley de reciprocidad cuadrática y
tienen importancia en el estudio de los cuerpos ciclotómicos. Ahora nos dedicaremos
a obtener los resultados adicionales que nos hacen falta para completar
nuestra evaluación de las funciones L. Para el caso cuadrático debemos extender
el teorema anterior a sumas de caracteres de módulo no necesariamente primo.
Todas las dificultades de cálculo las hemos superado ya. Lo que queda es fácil.
La clave es el teorema siguiente:
Teorema 12.7 Sean χ 1 ,...,χ n caracteres módulo m 1 ,...,m n respectivamente,
donde los números m i son primos entre sí dos a dos. Sea χ = χ 1 ×···×χ n y
m = m 1 × m n . Entonces
G a (χ) =G a (χ 1 ) ···G a (χ n ) χ 1 (m/m 1 ) ···χ n (m/m n ).
Demostración: Basta probarlo cuando n = 2 y el caso general se sigue
por inducción. Concretamente hemos de ver que
G a (χ 1 × χ 2 )=G a (χ 1 )G a (χ 2 ) χ 1 (m 2 )χ 2 (m 1 ).
( Para) ello observamos que la aplicación U m1 × U m2 −→ U m definida como
[u], [v] ↦→ [um2 +vm 1 ] es biyectiva (aunque no es un homomorfismo). Además,
si ω = cos(2π/m)+i sen(2π/m), entonces
ω m2 = cos(2π/m 1 )+i sen(2π/m 1 ) y ω m1 = cos(2π/m 2 )+i sen(2π/m 2 ).
Por lo tanto,
(∑
G a (χ 1 )G a (χ 2 ) χ 1 (m 2 )χ 2 (m 1 )= χ 1 (u)χ 2 (v)ω m2au+m1av) χ 1 (m 2 )χ 2 (m 1 )
= ∑ u,v
u,v
χ 1 (m 2 u)χ 2 (m 1 v)ω a(m2u+m1v)
= ∑ u,v
χ 1 (m 2 u + m 1 v)χ 2 (m 2 u + m 1 v)ω a(m2u+m1v) = ∑ r
χ 1 (r)χ 2 (r)ω ar
= ∑ r
χ(r)ω ar = G a (χ),
donde u varía en U m1 , v varía en U m2 y r en U m .
Con esto podemos probar:
Teorema 12.8 Sea χ un carácter cuadrático primitivo módulo m. Entonces
{ √ m si χ(−1) = 1
G(χ) =
i √ m si χ(−1) = −1