Teoria Numeros C Ivorra Castillo

262 Capítulo 11. La función dseta de Dedekind
para n ≥ 1 en la desigualdad de la izquierda y n ≥ 2 en la desigualdad de la
derecha. De aquí
∫ N+1
1
dx
N
x s < ∑
n=1
∫
1
N
x s < 1+
1
dx
x s ,
para todo número natural N>1. Integrando y tomando límites en N queda
1
1
≤ ζ(s) ≤ 1+
s − 1 s − 1 , s > 1.
Más aún, multiplicando por s − 1 y tomando límites en s obtenemos
lím
s→1 +(s
− 1)ζ(s) =1. (11.1)
Euler notó que esto implica la existencia de infinitos números primos. En
efecto, (11.1) implica que el miembro izquierdo de la fórmula de Euler tiende a
infinito cuando s tiende a 1, pero el miembro derecho estaría acotado si el producto
fuera finito. Por supuesto la existencia de infinitos primos puede probarse
por medios mucho más elementales (ya hay una prueba en los Elementos, de
Euclides), sin embargo, tras intentar sin éxito generalizar la prueba de Euclides
para demostrar que toda sucesión aritmética contiene números primos, Dirichlet
se planteó la posibilidad de lograrlo mediante el argumento de Euler.
Dirichlet conocía los resultados de Kummer, en particular el teorema 3.20,
según el cual el tipo de factorización de un primo p en un cuerpo ciclotómico de
orden m depende del resto de p módulo m, y por lo tanto de la clase de p en
U m . Dirichlet conjeturó que una fórmula similar a la de Euler donde la suma
se haga sobre los ideales del cuerpo ciclotómico m-simo y el producto sobre los
correspondientes primos ciclotómicos, tal vez podría utilizarse para probar que
toda progresión mx + n con [n] ∈ U m contiene números primos.
Ejercicio: Probar que la función dseta de Riemann converge uniformemente en los
subconjuntos compactos de ]1, +∞[. Deducir que es continua en dicho intervalo.
Resultados básicos sobre series y productos infinitos Para comodidad del
lector, enunciamos aquí los resultados analíticos más importantes que vamos a utilizar.
Criterio de mayoración de Weierstrass Si {f n} es una sucesión de funciones
definidas ∑ en A ⊂ C y {a n} es una sucesión ∑ en R de modo que |f n(z)| ≤a n para todo z ∈ A y
n an < +∞, entonces la serie funcional fn(z) converge uniformemente en su dominio.
n
Criterio de comparación ∑ Si {a n} y {b n} son dos sucesiones en C tales que ∑ existe
lím n |a n|/|b n| entonces la serie
n an converge absolutamente si y sólo si lo hace n bn.
Productos infinitos
∏ Un producto ∑ infinito (1 + an) de números complejos converge
n
(absolutamente)si y sólo si la serie an converge (absolutamente). En tal caso la serie
∑
n
log(1 + an) converge a un logaritmo del producto.
n