Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.3. El número de géneros 225
Demostración: Sea γ = α/β, donde α y β son enteros en K. Sean
p 1 ,...,p r los primos que dividen a m y que en K se descomponen como p i = p i q i ,
donde p i ≠ q i . Sean a i y a ′ i los exponentes de p i y q i en α. Sean b i y b ′ i
los exponentes en β. Por hipótesis ha de ser a i + a ′ i = b i + b ′ i . Llamemos
c i = a i − b i = b ′ i − a′ i . Para cada i, sea π i ∈ p i \ p 2 i . Por el teorema chino del
resto existe un entero ζ ∈ K tal que
ζ ≡ π ci
i
(mód p ci+1
i ),
ζ ≡ 1 (mód q ci+1
i ).
De este modo, p i divide a ζ con exponente c i , mientras que q i no divide a
ζ. Sea ζ ′ el conjugado de ζ. Claramente ζ y ζ ′ tienen la misma norma, luego
γ ∗ =(ζ ′ α)/(ζβ) tiene la misma norma que γ. Ahora, el exponente de p i tanto
en ζ ′ α como en ζβ es a i , y el exponente de q i en ζ ′ α yenζβ es b ′ i .
Así pues, todo divisor primo de m divide a ζ ′ α yenζβ con la misma multiplicidad
(para otros divisores distintos de los que hemos tratado —ver la tabla
3.1— se sigue inmediatamente de la hipótesis). Podemos aplicar el teorema
3.7 para concluir que γ ∗ = α ∗ /β ∗ , donde ningún primo que divida a m divide
a β ∗ (luego tampoco a α ∗ ). Por consiguiente, α ∗ y β ∗ tienen norma prima con
m. Si no es positiva los multiplicamos por α ∗ .
Teorema 9.19 (Teorema de duplicación) El género principal de un orden
cuadrático O m está formado por los cuadrados del grupo de clases.
Demostración: Consideremos una clase [a] del género principal. Por el
teorema 6.11 podemos suponer que a es un ideal de norma prima con m. El
teorema 9.17 nos da que N(a) =N(γ) para un cierto γ con N(γ) > 0. Por el
teorema anterior podemos tomar γ = α/β, donde α, β ∈ O tienen norma positiva
prima con m. Entonces [a] =[βa] yN(βa) =N(α). Esto significa que podemos
suponer que γ ∈ O. Ahora veremos que podemos tomarlo en O m . En efecto,
existen u y v enteros en K tales que uγ+vm =1. Así uγ ∈ 1+(m) ⊂ O m y sigue
siendo primo con m. Lo mismo vale para (uγ) 2 . Además N(u 2 γa) =N ( (uγ) 2)
y tanto u 2 γ como (uγ) 2 tienen norma positiva. Por consiguiente [a] =[u 2 γa] y
podemos sustituir γ por (uγ) 2 .
Descompongamos en ideales primos de O m :
a = ∏ i
p ai
i
q bi
i
∏
j
r cj
j ,
γ = ∏ i
p ui
i
q vi
i
∏
j
r wj
j ,
donde hemos distinguido entre los primos p i de norma p i tales que p i = p i q i
con p i ≠ q i y los primos restantes r j de norma r tj
j (t j =1, 2) tales que r j = r 2 j
o bien r j = r j .
Al igualar las normas y teniendo en cuenta que la factorización es única,
resulta que a i + b i = u i + v i y c j = w j . Tomando clases estrictas tenemos
[a] =[γ −1 a]= ∏ i
[p i ] ai [q i ] bi [p i ] −ui [q i ] −vi ,