Teoria Numeros C Ivorra Castillo

192 Capítulo 8. El teorema de Hasse-Minkowski
Ahora sea α =2ɛ, β = η. En la ecuación 2ɛx 2 + ηy 2 − z 2 = 0 podemos
suponer que x, y, z son enteros p-ádicos no todos pares. Pero de hecho y, z han
de ser ambos impares, pues si uno de ellos es par, digamos y, entonces 2 | z,
luego 4 | 2ɛx 2 luego los tres serían pares.
Por el argumento anterior esto equivale a que 2ɛx 2 + ηy 2 − z 2 ≡ 0 (mód 8)
tenga solución con y, z impares, y a su vez a que 2ɛ + η ≡ 1(mód 8) o bien
η ≡ 1 (mód 8). Esto nos da el cuadrante superior derecho de la tabla y por
simetría el inferior izquierdo.
Finalmente sea α = ɛ, β = η. Ahora en ɛx 2 + ηy 2 − z 2 = 0 se cumple que
entre x, y, z hay exactamente un par y dos impares.
Si z es par ɛx 2 + ηy 2 ≡ ɛ + η ≡ 0 (mód 4), luego o bien ɛ ≡ 1(mód 4) o bien
η ≡ 1 (mód 4).
Si z es impar entonces ɛx 2 + ηy 2 ≡ 1 (mód 4), y como entre x, y hay un par
y un impar, llegamos otra vez a que ɛ ≡ 1 (mód 4) o bien η ≡ 1(mód 4).
Recíprocamente, si se cumple, digamos, ɛ ≡ 1 (mód 4), entonces ha de ser
ɛ ≡ 1 (mód 8) o bien ɛ ≡ 5(mód 8). En el primer caso ɛx 2 +ηy 2 −z 2 ≡ 0 (mód 8)
tiene solución (1, 0, 1), en el segundo (1, 2, 1). Esto implica que ɛx 2 + ηy 2 − z 2
representa 0. En resumen la condición es ɛ ≡ 1 (mód 4) o η ≡ 1 (mód 4), o sea,
ɛ =5oη = 5, lo que nos da el resto de la tabla.
Como consecuencia, si α no es un cuadrado, el grupo cociente Q ∗ p/N α es
isomorfo al grupo {±1}. Componiendo la proyección en el cociente con este
isomorfismo obtenemos un homomorfismo de Q ∗ p en {±1} cuyo núcleo es exactamente
N α . Si α es un cuadrado entonces N α = Q ∗ p y dicho homomorfismo
también existe trivialmente. En definitiva estamos hablando que la aplicación
que asigna a cada β un signo ±1 según si β está onoenN α . A este homomorfismo
llegaron independientemente Hasse y Hilbert, el primero siguiendo más o
menos nuestra línea de razonamientos en términos de representación de números
p-ádicos por formas binarias, el segundo estudiando los grupos de normas de las
extensiones cuadráticas de los cuerpos p-ádicos.
Definición 8.24 Para cada par de números p-ádicos no nulos α y β se define
el símbolo de Hilbert como
{ 1 si β ∈ Nα
(α, β) p =
−1 si β/∈ N α
Teniendo en cuenta la definición de N α y el teorema 8.5, tenemos las equivalencias
siguientes:
1. (α, β) p =1
2. x 2 − αy 2 representa a β en Q p ,
3. αx 2 + βy 2 − z 2 representa 0 en Q p
4. αx 2 + βy 2 representa 1 en Q p .