Teoria Numeros C Ivorra Castillo

14 Capítulo 1. Introducción a la teoría algebraica de números
σ ( N(α) ) = N(α). Si α 1 ,...,α r son elementos no nulos de K definimos
N(x 1 α 1 +···+x r α r )= ( x 1 σ 1 (α 1 )+···+x r σ 1 (α r ) ) ···(x
1 σ n (α 1 )+···+x r σ n (α r ) )
Es claro que se trata de una forma de grado n (una forma es un polinomio
cuyos monomios tienen todos el mismo grado). Tener en cuenta que el producto
de formas es una forma y que los factores que definen N(x 1 α 1 + ···+ x r α r ) son
formas.
Al igual que ocurre con N(α), todo automorfismo σ de L permuta los factores
de N(x 1 α 1 + ···+ x r α r ), luego
σ ( N(x 1 α 1 + ···+ x r α r ) ) = N(x 1 α 1 + ···+ x r α r ).
La teoría de Galois nos da entonces que N(x 1 α 1 +···+x r α r ) ∈ Q[x 1 ,...,x r ].
Si x 1 ,...,x r ∈ Q, entonces N(x 1 α 1 + ···+ x r α r ) es simplemente la norma
de x 1 α 1 + ···+ x r α r .
Un módulo M de K será un subgrupo de (K, +) generado por un conjunto
finito α 1 ,...,α r de elementos de K, es decir,
M = 〈α 1 ,...,α r 〉 Z
= {a 1 α 1 + ···+ a r α r | a 1 ,...,a r ∈ Z}.
Hemos visto que hallar las soluciones de una ecuación diofántica definida por
una forma cuadrática (1.4) con discriminante no cuadrado perfecto equivale a
encontrar las soluciones de (1.5), lo que a su vez equivale a encontrar los elementos
del módulo M = 〈1,α〉 de norma d/a. En general, uno de los problemas
que resolveremos en este libro será el de determinar las soluciones enteras de
una ecuación del tipo
N(x 1 α 1 + ···+ x r α r )=m,
lo cual equivale a su vez a encontrar los elementos del módulo M = 〈α 1 ,...,α r 〉 Z
de norma m. Elmétodo que daremos puede considerarse una generalización de
la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas binarias. En la sección siguiente
damos algunos resultados adicionales que terminan de perfilar el planteamiento
del problema.
1.7 Ecuaciones definidas por formas
Cada forma F (x 1 ,...,x r ) con coeficientes enteros plantea dos problemas
básicos:
1. Determinar las soluciones de la ecuación diofántica F (x 1 ,...,x r )=m,
para cada entero m.
2. Determinar qué enteros m están representados por F , es decir, admiten
una expresión del tipo F (x 1 ,...,x r )=m para ciertos enteros x 1 ,...,x r .