Teoria Numeros C Ivorra Castillo

120 Capítulo 5. Fracciones continuas
donde
Componiendo las transformaciones modulares obtenemos que
α = Pβ′ k + R
Qβ ′ k + S ,
P = ap k−1 + bq k−1 ,
R = ap k−2 + bq k−2 ,
Q = cp k−1 + dq k−1 ,
S = cp k−2 + dq k−2 ,
que son enteros racionales y cumplen PS − QR = ±1.
Por el teorema 5.3 y puesto que β se encuentra entre dos convergentes consecutivos
cualesquiera, |p k−1 /q k−1 − β| < 1/q k−1 q k , o sea, |p k−1 − βq k−1 | < 1/q k .
Por lo tanto p k−1 = βq k−1 + δ/q k−1 , e igualmente p k−2 = βq k−2 + δ ′ /q k−2 , con
|δ|, |δ ′ | < 1.
De aquí resulta que
Q =(cβ + d)q k−1 +
cδ
q k−1
,
S =(cβ + d)q k−2 + cδ′
q k−2
.
Teniendo en cuenta que cβ + d>0, es claro que haciendo k suficientemente
grande podemos conseguir Q>S>0. Aplicando el teorema anterior resulta
que α =[a 0 ,...,a m ,β k ], de donde se sigue el teorema.
5.4 Unidades de cuerpos cuadráticos
Recordemos que según el teorema 2.24 los órdenes de los cuerpos cuadráticos
Q (√ d ) son los de la forma O m = Z[mω] ={a + bmω | a, b ∈ Z}, donde ω = √ d
o bien ω = ( 1+ √ d ) /2 según el resto de d módulo 4.
Sabemos también que si d>0, un sistema fundamental de unidades de O m
consta de una sola unidad ɛ, y es obvio que si ɛ es una unidad fundamental,
las unidades fundamentales son exactamente ±ɛ y ±1/ɛ. Por lo tanto hay una
única unidad fundamental ɛ>1. En lo sucesivo, cuando hablemos de la unidad
fundamental de O m nos referiremos siempre a la unidad mayor que 1.
Si ɛ = x + ymω > 1 es cualquier unidad de O m , como N(ɛ) =ɛ¯ɛ = ±1,
tenemos que ¯ɛ = ±1/ɛ, y en cualquier caso ɛ − ¯ɛ >0, o sea, ym(ω − ¯ω) > 0, y
como ω − ¯ω >0, resulta que y>0.
Por otro lado, ¯ω < −1 excepto en el caso d = 5. En efecto, en el caso
d ≢ 1 (mód 4) es ¯ω = − √ d3, si y sólo si d>9, o sea, si y sólo si
d ≠5.
Claramente m¯ω 0.