Teoria Numeros C Ivorra Castillo

136 Capítulo 6. Cuerpos cuadráticos
son primitivas el factor ha de ser ±1, concretamente el signo de a. Sia>0 nos
sirve el módulo M. Sia 0 tienen
asociada la misma clase, pero la situación es peor, en el sentido de que puede
haber también módulos no similares cuya clase asociada sea la misma. Veamos
en qué condiciones esto es posible:
Supongamos que a dos módulos M y M ′ les corresponde la misma clase de
formas. Escogiendo oportunamente las bases podemos suponer que M = 〈α, β〉,
M ′ = 〈α ′ ,β ′ 〉 y que la forma asociada a ambas bases es la misma. En la prueba
del teorema 6.3 hemos visto que γ = −β/α y γ ′ = −β ′ /α ′ son raíces del mismo
polinomio, luego son iguales o conjugados. Puesto que M y M ′ son similares,
respectivamente, a 〈1,γ〉 y 〈1,γ ′ 〉, concluimos que M es similar a M ′ o bien a
su conjugado.
Esto es todo lo que podemos decir: si dos módulos son conjugados, la forma
que les asignamos es la misma, y más adelante veremos ejemplos de módulos no
similares a sus conjugados, con lo que una misma clase de formas se corresponde
a veces con módulos no similares. En cualquier caso, una clase de formas nunca
se corresponde con más de dos clases de módulos similares.
En resumen tenemos que una clase de módulos similares puede corresponderse
con dos clases de formas y que una clase de formas puede corresponderse
con dos clases de módulos similares. Esta situación tan poco satisfactoria se
puede arreglar completamente si refinamos las relaciones de equivalencia que
estamos considerando. Nos ocupamos de ello seguidamente.
6.2 Equivalencia y similitud estricta
Definición 6.4 Dos formas cuadráticas son estrictamente equivalentes si son
equivalentes mediante un cambio de variables de determinante +1. Dos módulos
M y N de un cuerpo cuadrático son estrictamente similares si M = αN para
un cierto número α de norma positiva.
Observar que dos formas que se diferencien en un cambio de variables de
discriminante negativo pueden ser pese a ello estrictamente equivalentes. Por
ejemplo, si una forma cumple a = c, entonces el cambio x = y, y = x produce
el mismo efecto (ninguno) que el cambio x = x, y = y.
También puede que dos formas sean equivalentes pero no estrictamente equivalentes,
en cuyo caso su clase de equivalencia se parte en dos clases de equivalencia
estricta.
Lo mismo sucede con la similitud estricta de módulos, aunque aquí podemos
precisar un poco más: