Teoria Numeros C Ivorra Castillo

2.3. Módulos y órdenes 31
Es importante señalar que la prueba del teorema anterior no es constructiva,
es decir, no nos da un método para encontrar un conjunto maximal de elementos
no asociados de una norma dada. Más adelante daremos una versión efectiva
de este resultado. Por el momento hemos conseguido perfilar nuestro objetivo:
Para resolver el problema de las ecuaciones diofánticas determinadas
por formas completas hemos de dar un algoritmo para determinar un
conjunto maximal (finito) de elementos no asociados de una norma
dada en un módulo completo y otro para calcular un generador del
grupo de las unidades de norma +1 de un orden numérico (que
también veremos que es finito).
Terminamos la sección con un resultado fundamental a la hora de trabajar
con órdenes numéricos. Partimos de unas consecuencias elementales de 2.7.
Teorema 2.20 Sea K un cuerpo numérico.
1. Si O es un orden de K, entonces ∆[O] ∈ Z.
2. Si O ⊂ O ′ son dos órdenes de K, entonces ∆[O] =m 2 ∆[O ′ ], para cierto
natural m. Además m =1si y sólo si O = O ′ .
Demostración: 1) es consecuencia inmediata del teorema 2.7.
2) Los elementos de una base de O se expresan como combinación lineal
de los elementos de una base de O ′ con coeficientes enteros racionales. Por
lo tanto la matriz D de cambio de base tiene coeficientes enteros racionales
y su determinante es un entero racional. Por el teorema 2.7 concluimos que
∆[O] =|D| 2 ∆[O ′ ]. Además los órdenes coinciden si y sólo si D es de hecho una
matriz de cambio de base en O ′ , lo que sucede si y sólo si |D| = ±1.
El último apartado del teorema anterior implica que no es posible formar cadenas
ascendentes de órdenes en un cuerpo numérico (esto es falso para módulos:
basta pensar en M ⊂ (1/2)M ⊂ (1/4)M ⊂ (1/8)M ⊂···).
Así pues, cada orden está contenido en un orden maximal por encima del
cual no hay más órdenes. Vamos a probar que de hecho todos los órdenes de
K están contenidos en un mismo orden maximal. El teorema anterior nos dice
también que dicho orden tendrá un discriminante menor que el de cualquier otro
orden, y éste va a ser el criterio con el que lo encontraremos.
Definición 2.21 Llamaremos orden (maximal) de un cuerpo numérico K al
conjunto O K = K ∩ E. Claramente es un anillo que contiene a todos los demás
órdenes de K.
No es evidente que O K sea él mismo un orden. Para probarlo notemos
primero que del teorema 2.5 se sigue inmediatamente que K es el cuerpo de
cocientes de O K ,así como que existe un ζ ∈ O K tal que K = Q(ζ), es decir, que
siempre podemos tomar un elemento primitivo que sea entero. Las n primeras
potencias de este elemento primitivo constituyen una base de K formada por
enteros.