Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.2. Retículos 81
un retículo completo y el volumen de su paralelepípedo fundamental es
√ ∣∣
∆[M] ∣ ∣
√ ∣∣
∆[O] ∣ ∣
c M =
2 t =
2 t N(M).
Para demostrar las propiedades elementales de los paralelepípedos necesitaremos
algunos conceptos topológicos:
Consideraremos en R n el producto escalar euclídeo dado por
xy = x 1 y 1 + ···+ x n y n .
Así mismo consideraremos la norma euclídea ‖x‖ = √ xx. Llamaremos B n a
la bola unitaria (de centro 0 y radio 1) en R n , y así rB n será la bola de centro
0 y radio r. Cuando no haya confusión suprimiremos el subíndice n.
Diremos que un subconjunto de R n es discreto si no tiene puntos de acumulación,
es decir, si es cerrado y como espacio topológico es discreto. Equivalentemente,
un conjunto es discreto si y sólo si corta a cada bola rB en un número
finito de puntos.
Si T es un paralelepípedo fundamental de un retículo M de R n y x ∈ M,
llamaremos trasladado de T por x al conjunto
T x = x + T = {x + t | t ∈ T }.
Teorema 4.6 Sea M un retículo en R n yseaT un paralelepípedo fundamental
de M. Entonces
1. Si M es completo los conjuntos T x con x ∈ M son disjuntos dos a dos y
cubren todo R n .
2. El conjunto M es discreto.
3. Para cada r>0 sólo un número finito de conjuntos T x corta a la bola rB.
Demostración: 1) Sea v 1 ,...,v n la base cuyo paralelepípedo es T . Si
x ∈ R n , entonces x se expresa de forma única como x = a 1 v 1 + ···+ a n v n ,
donde a 1 ,...,a n son números reales. Podemos descomponer de forma única
a i = k i + r i , donde k i ∈ Z y0≤ r i < 1. Llamando ahora u = k 1 v 1 + ···+ k n v n
y t = r 1 v 1 + ···+ r n v n tenemos que x = u + t, con u ∈ M y t ∈ T , es decir,
x ∈ T u . Si x ∈ T v para un v ∈ M, entonces x = v + t ′ , donde t ′ ∈ T es de la
forma s 1 v 1 + ···+ s n v n con 0 ≤ s i < 1yv es de la forma m 1 v 1 + ···+ m n v n
con m i ∈ Z.
La unicidad de las coordenadas da que k i + r i = a i = m i + s i . La unicidad
de la parte entera da que k i = m i y r i = s i , luego u = v. Esto prueba que cada
vector pertenece a un único conjunto T u .
2) Puesto que todo retículo puede sumergirse en un retículo completo y que
todo subconjunto de un conjunto discreto es discreto, podemos suponer que M
es completo. En tal caso la aplicación lineal que transforma la base canónica de