Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.6. La caracterización de los primos regulares 341
Así pues,
θ p−1
k
≡ θ −1
k k (−1)1−k ≡ k ω − 1
ω k − 1 (−ρ)k−1
= ω − 1 ( ω k ) −1
− 1
ω (k−1)(p+1)/2 (mód π p−1 ).
π kπ
Notar que todos los factores del último miembro son unidades principales.
Ciertamente ω lo es, de π ≡ ω − 1 (mód π 2 ) se sigue que (ω − 1)/π también lo
es, y el factor central lo es también por serlo θ p−1
k
.
Esto nos permite aplicar L y separar los factores por el teorema 13.16:
L(θ p−1
k
) ≡ L
( ω − 1
π
) ( ω k − 1
− L
kπ
)
+ k − 1 L(ω) (mód π p−1 ).
2
Por el teorema anterior y 13.16, ω k ≡ E(kπ) (mód π p ), de donde
ω k − 1
kπ
≡ E(kπ) − 1
kπ
(mód π p−1 ).
Lo mismo es válido para (ω − 1)/π, con lo que
( )
L(θ p−1 E(π) − 1
k
) ≡ L
− π ( )
E(kπ) − 1
π 2 − L + kπ kπ 2 (mód πp−1 ). (13.15)
Esta expresión nos lleva a estudiar el polinomio
( ) E(x) − 1
L
− x x 2 .
Para ello consideramos la función
( )
exp(x) − 1
log
− x x 2 = log(exp(x) − 1) − log x − x 2 . (13.16)
Si la consideramos como función de variable compleja, al derivarla se convierte
en
e x
e x − 1 − 1 x − 1 2 = 1
e x − 1 + 1 2 − 1 x = 1 x
x
e x − 1 + 1 2 − 1 x .
Hemos multiplicado y dividido entre x porque así podemos aplicar la definición
de los números de Bernoulli 13.4 (así como que los de índice impar son nulos
salvo B 1 = −1/2 y que B 0 = 1):
x
∞
e x − 1 = ∑
k=0
B k
k! xk =1− x 2 + x ∞ ∑
Por consiguiente la derivada de 13.16 es
∞∑ B 2i
(2i)! x2i−1 ,
i=1
i=1
B 2i
(2i)! x2i−1 .