Teoria Numeros C Ivorra Castillo

2.4. Determinación de bases enteras 43
ciclotómico tiene n raíces distintas en L. Consecuentemente [∆] ≠ 0, es decir,
que ∆ /∈ p, luego ciertamente p ∤ ∆.
Para terminar con el caso de los cuerpos ciclotómicos, estudiemos el cuerpo
ciclotómico octavo Q(ω). Su grado es 4 y, de hecho, pol mín ω = x 4 +1. El
teorema 2.8 nos da que el discriminante del orden Z[ω] es 256. Hemos de probar
que no es posible eliminar ningún 2.
Según el teorema 2.25, aplicado a la base 1,ω,ω 2 ,ω 3 , hemos de probar que
no son enteros un total de 15 números. Descartamos inmediatamente 1/2, ω/2,
ω 2 /2yω 3 /2, que tienen norma 1/4.
Si (ω + ω 2 )/2 =ω(1 + ω)/2 fuera entero también lo sería (1 + ω)/2, luego
basta comprobar el segundo. Por este argumento eliminamos cuatro números
más, y nos quedan
1+ω
2
, 1+ω2
2
, 1+ω3 ,
2
1+ω + ω2
,
2
1+ω + ω3
2
, 1+ω2 + ω 3
2
, 1+ω + ω2 + ω 2
.
2
Notar que (1 + ω 2 )/2 = (1 + i)/2, luego no es entero. Para descartar a los
restantes observamos que x 4 +1 = (x − ω)(x − ω 3 )(x − ω 5 )(x − ω 7 ), y evaluando
en 1 concluimos que 1 − ω y1− ω 3 tienen norma 2.
Ahora, si α =(1+ω)/2 fuera entero, también lo sería −ω 3 α =(1− ω 3 )/2,
pero tiene norma 1/2. El número (1 + ω 3 )/2 es conjugado del anterior, luego
tampoco es entero.
Respecto a
1+ω + ω 2
2
= ω3 − 1)
2(ω − 1)
y
1+ω + ω 2 + ω 3
2
= ω4 − 1
2(ω − 1) = − 2
2(ω − 1) ,
vemos que también tienen norma fraccionaria.
Por último, si el número α =(1+ω + ω 3 )/2 fuera entero, también lo sería
ωα +1=(1+ω + ω 2 )/2, que ya ha sido descartado, e igualmente se razona con
ω 2 (1 + ω 2 + ω 3 )/2+1+ω =(1+ω + ω 2 )/2.
Enteros ciclotómicos reales Sea K = Q(ω) el cuerpo ciclotómico de orden
p. En el estudio de K resulta de gran ayuda considerar el cuerpo intermedio
K ′ = K ∩ R. Claramente K ′ es el cuerpo fijado por la conjugación compleja,
que es un automorfismo de orden 2, luego |K : K ′ | = 2 y por consiguiente el
grado de K ′ es m =(p − 1)/2. Un entero de K ′ es en particular un entero de
K, luego se expresará como combinación lineal entera de ω,...,ω p−1 . Como
ha de quedar fijo por la conjugación compleja es necesario que el coeficiente de
cada potencia ω i coincida con el de ω −i , lo que implica que los enteros de K ′
son combinaciones lineales enteras de los números η i = ω i + ω −i . El recíproco
es obvio, luego en definitiva el orden maximal de K ′ es el anillo Z[η 1 ,...,η m ].
Vamos a calcular el discriminante ∆ K ′ =∆[η 1 ,...,η m ] = det ( Tr(η i η j ) ) .
Para ello notamos que
η i η j =(ω i + ω −i )(ω j + ω −j )=ω i+j + ω −i−j + ω i−j + ω j−i = η i+j + η i−j ,