Teoria Numeros C Ivorra Castillo

1.7. Ecuaciones definidas por formas 17
Demostración: Sea F =(α 11 x 1 + ···+ α 1r x r ) ···(α n1 x 1 + ···+ α nr x r )
una forma factorizable, donde los coeficientes α ij están en un cierto cuerpo K.
Es obvio que si una forma factoriza en un cuerpo K, también lo hacen sus
equivalentes, luego podemos exigir que el coeficiente A de x n 1 sea no nulo. Entonces
todos los coeficientes a i1 son no nulos (su producto es A), luego podemos
extraerlos y escribir
F = A(x 1 + β 12 x 2 + ···+ β 1r x r ) ···(x 1 + β n2 x 2 + ···+ β nr x r ).
Para 2 ≤ j ≤ r hacemos x j = 1 y las demás variables 0, con lo que queda
F (x 1 , 0,...,1,...,0) = A(x 1 + β 1j )...(x 1 + β nj ),
yasí tenemos un polinomio mónico con coeficientes racionales cuyas raíces son
los elementos −β ij , luego son algebraicos.
El cuerpo Q ( {β ij } ) es una extensión finita de Q, luego podemos identificarlo
con un subcuerpo de C, es decir, con un cuerpo numérico, y F factoriza en él.
Una forma de tipo N(x 1 α 1 + ···+ x r α r ) no tiene por qué ser irreducible
en el anillo Q[x 1 ,...,x r ]. Por ejemplo, en el cuerpo K = Q (√ 2, √ 3 ) se tiene
que N ( x √ 2+y √ 3 ) =(2x 2 − 3y 2 ) 2 . Desgraciadamente poco podemos decir en
general sobre formas reducibles, pues sus factores se comportan independientemente
y la teoría de cuerpos no es de gran ayuda. Por ejemplo, de nuestro
análisis de las formas cuadráticas binarias en la sección anterior se deduce que
una forma cuadrática es reducible en Q[x, y] siysólo si su discriminante es
cuadrado perfecto, y ese caso tuvo que ser estudiado aparte.
Nuestra teoría se aplicará satisfactoriamente a formas factorizables irreducibles,
caracterizadas por estar definidas por generadores de K.
Teorema 1.8 Sea un cuerpo numérico K = Q(α 2 ,...,α r ). Entonces la forma
F (x 1 ,...,x r )=N(x 1 + x 2 α 2 + ···+ x r α r ) es irreducible en Q[x 1 ,...,x r ] ytoda
forma factorizable irreducible en Q[x 1 ,...,x r ] es equivalente a un múltiplo por
una constante de una forma de este tipo.
Demostración: Supongamos que F = GH, donde G, H ∈ Q[x 1 ,...,x r ].
Por definición
F = ( x 1 + x 2 σ 1 (α 2 )+···+ x r σ 1 (α r ) ) ···(x
1 + x 2 σ n (α 2 )+···+ x r σ n (α r ) ) .
Cada forma L i = x 1 + x 2 σ i (α 2 )+···+ x r σ i (α r ) divide a G oaH. Digamos
que L 1 divide a G, o sea, G = L 1 M. Aplicando el monomorfismo σ i y teniendo
en cuenta que G tiene los coeficientes racionales llegamos a que G = L i σ i (M),
o sea, todas las formas L i dividen al polinomio G.
Como α 2 ,...,α r generan K, si dos monomorfismos coinciden sobre ellos es
que son iguales. De aquí se sigue que las formas L i son distintas dos a dos, y
como el coeficiente de x 1 es 1 en todas ellas, no pueden diferenciarse en una
unidad, es decir, son primas entre sí. Consecuentemente su producto, o sea, F ,
divide a G. Esto implica que H es una constante, luego F es irreducible.