Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.3. Los números de Bernoulli 327
Vamos a probar que todos los números en el sumatorio son p-enteros múltiplos
de p. Por hipótesis de inducción los números pB k son p-enteros (porque son
nulos o bien p divide al denominador de B k con multiplicidad a lo sumo 1).
Basta probar que los números
( m +1
1
m +1
k
)
p m−k
son p-enteros múltiplos de p.
Si p = 2 es inmediato, puesto que m + 1 es impar y el número combinatorio
es un entero. Supongamos que p es impar. Entonces
( )
1 m +1
p m−k m(m − 1) ···(k +1)
= p m−k .
m +1 k
(m − k + 1)!
Si r = m − k + 1, entonces el exponente de p en r! es a lo sumo
E(r/p)+E(r/p 2 )+···< r p + r p 2 + ···= r
p − 1 ≤ r ≤ r − 1=m − k,
2
donde E denota la parte entera (observar que E(r/p i )eselnúmero de múltiplos
de p i menores que r). De aquí se sigue lo pedido.
Con esto hemos probado que pB m es p-entero para todo primo p, lo que
prueba que D m es libre de cuadrados. Más aún, la fórmula (13.4) implica ahora
que
pB m ≡ S m (p) (mód p).
Si p − 1 | m entonces k m ≡ 1 (mód p) para 1 ≤ k ≤ p − 1, luego
∑p−1
S m (p) = k m ≡ p − 1 ≡−1 (mód p),
k=1
mientras que si p − 1 ∤ m, tomando una raíz primitiva g módulo p tenemos
∑p−1
∑p−2
S m (p) = k m ≡ g mr = g(p−1)m − 1
g m − 1
k=1
r=0
≡ 0(mód p),
pues p ∤ g m − 1 pero p | g (p−1)m − 1.
Resulta, pues, que pB m ≡−1, 0 (mód p) según si p − 1 divide o no a m. En
el primer caso p ∤ pB m , luego p | D m . En el segundo p | pB m , luego p ∤ D m .
Más aún, en la prueba hemos visto que todos los términos del sumatorio que
aparece en la fórmula (13.4) son p-enteros. Si además suponemos que m ≤ p − 1
entonces p − 1 ∤ k, para todo k