Teoria Numeros C Ivorra Castillo

240 Capítulo 9. La teoría de los géneros
estricta de ideales. Sea p un número natural primo con ∆ que se expresa exactamente
de cuatro formas distintas como p = f(x, y) con (x, y) =1. Entonces
p es primo.
Demostración: El orden de f tendrá exactamente dos unidades, luego el
teorema anterior junto con 9.28 nos da que su cuerpo cuadrático tiene exactamente
dos ideales de norma p. Más aún, en la demostración de 9.28 se ve
que el número de ideales de norma p viene dado por la fórmula 9.9, de donde
se sigue que p es divisible entre un único primo que se escinde y además con
multiplicidad 1. Basta ver que p no es divisible entre primos que se conservan o
se ramifican. Ciertamente, p no es divisible entre primos que se ramifican, pues
por hipótesis es primo con el discriminante del cuerpo. Supongamos que q es
un primo que se conserva y divide a p.
Consideremos un módulo asociado a la forma f. Podemos exigir que sea un
ideal de norma prima con q. Más aún, según el teorema 6.9 podemos tomarlo
de la forma a = 〈a, b + mω〉, donde N(a) =a. Cambiando f por una forma
estrictamente equivalente, podemos suponer que
N(ax +(b + mω)y)
p = f(x, y) = .
a
Notar que si (x, y) = 1 y aplicamos un cambio de variables lineal de determinante
1, las imágenes siguen cumpliendo lo mismo. El numerador es un entero racional,
luego tenemos que q | N(ax +(b + mω)y), y como q es primo en el orden
cuadrático, también q | ax +(b + mω)y. Esto implica que q | ax + by, q | my,
con lo que q | y y q | ax, lo cual es imposible.
Un caso particular de este teorema era ya conocido por Euler, quien lo usó
para encontrar primos grandes. Concretamente, Euler definió unnúmero idóneo
(o conveniente) como un número natural n tal que —en nuestros términos— el
orden de discriminante −4n tiene una sola clase de similitud estricta de ideales
en cada género. Entonces se cumple:
Si n es un número idóneo y p es un número impar que se expresa de
forma única como p = x 2 + ny 2 , para ciertos números naturales x,
y tales que (x, ny) = 1, entonces p es primo.
Las cuatro representaciones de las que habla el teorema anterior son entonces
(±x, ±y). Euler encontró los siguientes números idóneos:
Tabla 9.2: Los números idóneos de Euler
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40,
42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165,
168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462,
520, 760, 840, 1.320, 1.365, 1.848.
No se conoce ninguno más, y de hecho se conjetura que no los hay.
Ejercicio: Probar que 3.049 = 7 2 + 120 · 5 2 es primo.