Teoria Numeros C Ivorra Castillo

1.4. La ley de reciprocidad cuadrática 9
de su teoría de formas cuadráticas. Se trata de la famosa Ley de Reciprocidad
Cuadrática. Para enunciarla debemos introducir algunos conceptos.
Definición 1.3 Sea p un primo impar. Diremos que un número natural n primo
con p es un resto cuadrático módulo p si n ≡ x 2 (mód p), para cierto entero x.
En caso contrario (siempre suponiendo que n es primo con p) diremos que n es
un resto no cuadrático módulo p. Definimos el símbolo de Legendre como
⎧
( ) n
⎨ 1 si n es un resto cuadrático módulo p
= −1 si n es un resto no cuadrático módulo p
p ⎩
0 si p | n
Es obvio que si a ≡ b (mód p) entonces (a/p) =(b/p).
Conviene pensar en el símbolo de Legendre desde el siguiente punto de vista
algebraico: Sea U p el grupo de las unidades de Z/pZ. La aplicación U p −→ Up
2
dada por x ↦→ x 2 tiene por imagen al grupo de las clases de restos cuadráticos
módulo p, ysunúcleo es ±[1] (pues el polinomio x 2 − 1sólo puede tener dos
raíces). Por lo tanto U p /Up 2 ∼ = {±1}, yelsímbolo de Legendre (cuando p ∤ n)
es la composición de la aplicación n ↦→ [n] con este isomorfismo.
Ahora es claro que para todo a, b,
( ) ( )( ab a b
=
.
p p p)
Ley de reciprocidad cuadrática
1. Sean p y q primos impares distintos entonces
(a) Si p ≡ 1 (mód 4) o q ≡ 1(mód 4) entonces
( ) ( p q
= .
q p)
(b) Si p ≢ 1 (mód 4) y q ≢ 1 (mód 4) entonces
( ) ( p q
= − .
q p)
2. (Primera Ley Suplementaria) Si p es un primo impar
( ) { −1 1 si p ≡ 1(mód 4)
=
p −1 si p ≡ 3(mód 4)
3. (Segunda Ley Suplementaria) Si p es un primo impar
( { 2 1 si p ≡±1 (mód 8)
=
p)
−1 si p ≢ ±1 (mód 8)