Teoria Numeros C Ivorra Castillo

3.1. Dominios de Dedekind 55
3.Sia ∈ K es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en D, entonces
a ∈ D.
Demostración: Todo dominio de Dedekind es noetheriano, pues una cadena
de ideales estrictamente creciente significaría una cadena decreciente de
divisores, lo cual es imposible. La propiedad 2) está probada en el teorema 3.4.
Es interesante notar que la prueba de 3) vale indistintamente para dominios de
Dedekind o para dominios de factorización única. En efecto:
Sea c = a b
, con a, b ∈ D. Si c/∈ D entonces b ∤ a, luego existe un primo p
(ideal o real) tal que el exponente de p en a sea estrictamente menor que en b.
Sea p(x) = ∑ n
i=0 d ix i , donde d n = 1. Entonces
a n
b n + d n−1
b n−1 + ···+ d a
1
b + d 0 =0.
Multiplicando por b n queda:
a n−1
a n = −d n−1 ba n−1 −···−d 1 b n−1 a − d 0 b.
Ahora bien, el exponente de p en el miembro izquierdo es exactamente n
veces el exponente en a, mientras que en el miembro derecho es estrictamente
mayor, con lo que tenemos una contradicción.
Supongamos ahora que un dominio íntegro D cumple las tres propiedades
del enunciado y veamos que es un dominio de Dedekind. Dividimos la prueba
en varios pasos.
(i) Sea a ≠0un ideal de D. Entonces existen ideales primos p 1 ,...,p r de
manera que p 1 ···p r ⊂ a.
En caso contrario existe un ideal a tal que no existen ideales primos en las
condiciones pedidas y que es maximal entre los ideales para los que esto ocurre.
En particular a no puede ser primo, o cumpliría (i) trivialmente. Tampoco
puede ser que a = D. Por lo tanto existen dos ideales b y c tales que bc ⊂ a,
pero no b ⊂ a o c ⊂ a.
Por la maximalidad de a, existen ideales primos p 1 ,...,p s y p s+1 ,...,p r
tales que
p 1 ···p s ⊂ a + b, p s+1 ···p r ⊂ a + c,
de donde p 1 ···p r ⊂ (a + b)(a + c) ⊂ aa + ab + ac + bc ⊂ a, contradicción.
(ii) Si a es un ideal no nulo de D, llamaremos a −1 = {x ∈ K | xa ⊂ D}.
Es claro que a −1 es un D-submódulo de K, y para cualquier c ∈ a no nulo
se cumple que ca −1 ⊂ D, luego a −1 es un ideal fraccional de D.
También es inmediato que D ⊂ a −1 , luego a = aD ⊂ aa −1 .
De la definición de a −1 se sigue que aa −1 = a −1 a ⊂ D. Esto significa que el
ideal fraccional a −1 a es de hecho un ideal de D.
Notar también que si a ⊂ b son dos ideales de D, entonces D ⊂ b −1 ⊂ a −1 .