Teoria Numeros C Ivorra Castillo

5.5. La fracción continua de e 129
El valor corregido de b 5 es b 5 = −1+u 2 2 3t =3t − 1 ≥ 0.
Tenemos, pues, que η 0 =[1| t − 1, 1, 1 | 3t − 1, 1, 1 |... ].
Ahora bien, para los cálculos relativos al cuarto segmento partimos exactamente
de los mismos datos que para el tercero (la fracción [0] y la terna
(u 3 ,v 3 ,w 3 )=(1, −1, 2)), luego llegaremos exactamente a los mismos coeficientes
[−1, 1, 1], y otra vez a la misma terna. Lo único que cambiará será la
corrección del primer coeficiente, que ahora será 5t, y después 7t, etc., dando
lugar siempre a coeficientes mayores que 0.
Consecuentemente tenemos la fracción continua de η 0 , que no es sino
omás brevemente:
η 0 =[1,t− 1, 1, 1, 3t − 1, 1, 1, 5t − 1, 1, 1, 7t − 1, 1, 1,... ],
t√ e = η0 =[1, (2k +1)t − 1, 1] ∞ k=0.
En el caso t = 1 aparece un cero que debe ser cancelado:
e =[1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6,... ]=[2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6,... ],
así, e =[2, 1, 2k, 1] ∞ k=0 .
En general, este método puede ser aplicado siempre que la fracción continua
de ξ 0 pueda ser dividida en segmentos que (por lo menos desde uno dado en
adelante) tengan todos la misma longitud y los mismos términos, salvo quizá el
primero, y de modo que los primeros términos de cada segmento sean mayores o
iguales que D (para que los coeficientes que obtenemos puedan ser enlazados) y
congruentes módulo D (para que podamos reducirlos a constantes por el teorema
5.15 y así llegar a un ciclo como ha ocurrido en el ejemplo).
Otra aplicación la tenemos cuando hacemos m =2t + 1 en la expresión
original. Entonces queda
ξ 0 =[1| 2t | 6t +3| 10t +5| 14t +7|... ],
y con este método podemos calcular la fracción continua de e 2/(2t+1) . Para ello
reducimos módulo 2 a la fracción ξ ∗ 0 =[1| 0 | 1 | 1 | 1 |... ].
Esta vez se obtienen las ternas
(2, −1, 1), (1, 0, 2), (2, 0, 1), (1, 0, 2), (1, −1, 2), (2, 0, 1).
La primera repetición (u 1 ,v 1 ,w 1 )=(u 3 ,v 3 ,w 3 ) no es significativa, pues los
primeros (y únicos) coeficientes de los segmentos primero y tercero son [0] y [1]
respectivamente, luego no son congruentes y por lo tanto no podemos garantizar
que comience un ciclo (y de hecho no comienza).
En cambio la repetición (u 5 ,v 5 ,w 5 )=(u 2 ,v 2 ,w 2 )sí cierra el proceso. La
fracción que se obtiene es
η ∗ 0 =[1| 0 | 2 | 0, 1, 1 | 0 | 2 | 0, 1, 1 | 0 | 2 | 0, 1, 1 | 0 | 2 | 0, 1, 1 |... ]