Teoria Numeros C Ivorra Castillo

9.2. Géneros de formas y módulos 221
Los caracteres fundamentales son χ 2 y χ 7 . Por ello los caracteres del orden
maximal se obtienen eliminando el signo central.
Para órdenes maximales el teorema 9.13 puede mejorarse.
Teorema 9.14 Sea O un orden cuadrático maximal de discriminante D ysea
χ p cualquier carácter de O. Entonces
1. Si f es una forma cuadrática de discriminante D,
χ p (f) =(a, D) p = ψ p (f),
donde a es cualquier número racional representado racionalmente por f.
2. Si M es un módulo de O, entonces χ p (M) =(N(M),D) p .
Demostración: El teorema 9.13 prueba estos hechos en el caso en que
p | D. Si p ∤ D sabemos que χ p (f) = 1 para toda forma de discriminante
D. Por otro lado, a puede tomarse primo con p y entonces, si p es impar,
ψ p (f) =(a, D) p = 1 (pues p divide a D con multiplicidad 1). Si p = 2 entonces
podemos tomar a impar, y necesariamente D ≡ 1 (mód 4), luego también
ψ 2 (f) =(a, D) 2 =1.
La versión en términos de módulos se deduce de la de formas como en el
teorema 9.13.
Ahora podemos comprender por qué elnúmero de géneros es siempre la mitad
del que a priori podría ser. En un orden maximal, el número de caracteres
negativos de un género ha de ser par, como consecuencia del teorema 8.37 (admitiendo
la ley de reciprocidad cuadrática). En efecto, la fórmula producto que
aparece en dicho teorema tiene como caso particular que
∏
χ p (M) = ∏ (N(M),D) p =1.
p
p
(Falta el factor (N(M),D) ∞ , pero siempre vale 1, porque N(M) > 0.) De hecho
vamos a probar que esta propiedad equivale a la ley de reciprocidad cuadrática,
y nos basaremos en ello para demostrarla.
Teorema 9.15 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. La ley de reciprocidad cuadrática.
2. Si M es un módulo de un orden cuadrático maximal de discriminante D,
entonces
∏
χ p (M) =1,
es decir, el número de caracteres negativos de M es par.
p
3.SiD es un discriminante fundamental y m es el número de primos distintos
que dividen a D, entonces el número de géneros g del orden de
discriminante D cumple g ≤ 2 m−1 .