Teoria Numeros C Ivorra Castillo

312 Capítulo 12. Sumas de Gauss
Por lo tanto
m/2
m/2
∑ ∑
= −2χ K (2) χ K (k)k + χ K (2k)(m − 2k)
k=1
k=1
m/2
m/2
∑
∑
= −4χ K (2) χ K (k)k + mχ K (2) χ K (k).
k=1
k=1
m/2
m/2
∑
∑
hm χ K (2) = −4 χ K (k)k + m χ K (k). (12.9)
k=1
Multiplicamos (12.8) por 2ylerestamos (12.9):
k=1
hm ( 2 − χ K (2) ) m/2
∑
= m χ K (k).
Finalmente observamos que la ecuación obtenida en el caso m par es ésta
misma, puesto que entonces χ K (2) = 0. En resumen:
Teorema 12.10 Sea K un cuerpo cuadrático de discriminante ∆ < −4. Entonces
el número de clases de K viene dado por la fórmula
h =
k=1
|∆|/2
1 ∑
χ(k),
2 − χ(2)
donde k recorre los números primos con ∆.
Esta fórmula, ya simple de por sí, se simplifica aún más cuando se aplica a
cuerpos de discriminante primo. Concretamente tendrán que ser cuerpos de la
forma K = Q ( √ −p
)
, donde p ≡−1 (mód 4). Entonces el carácter de K es el
símbolo de Legendre y χ(2) depende del resto de p módulo 8. El enunciado es
claramente:
Teorema 12.11 Sea p ≡−1 (mód 4) un primo racional y sean respectivamente
R y N el número de restos cuadráticos y restos no cuadráticos módulo p en el
intervalo [0,p/2]. Entonces el número de clases de Q ( √ )
−p viene dado por
{
R − N si p ≡ 7 (mód 8)
h =
k=1
1
3
(R − N) si p ≡ 3 (mód 8)
Ejercicio: Probar que en las condiciones del teorema anterior h es impar. (Esto lo
sabíamos ya como consecuencia de la teoría de géneros.)
El teorema anterior implica en particular que R>N. No se conoce ninguna
prueba elemental de este hecho. Nuestra prueba depende—entre otras cosas—de
la determinación del signo de las sumas de Gauss cuadráticas.