Teoria Numeros C Ivorra Castillo

104 Capítulo 4. Métodos geométricos
Esto significa que µ está enelnúcleo de la representación logarítmica, y según
el teorema 4.21 es una raíz de la unidad.
El grupo de las raíces de la unidad de Q(ω) escíclico de orden un cierto
natural m. Sea ζ un generador. Puesto que ω está en dicho grupo, ha de ser
p | m. Digamos m = p i x con i ≥ 1.
El cuerpo Q(ζ) es un cuerpo ciclotómico de grado φ(m), donde φ es la función
de Euler. Así pues, φ(m) =(p − 1)p i−1 φ(x) | p − 1. Esto implica que i =1y
que φ(x) = 1, de donde x = 2 (ha de ser par), y así el grupo de las raíces de la
unidad de Q(ω) tiene orden 2p, luego está formado por las unidades ±ω i .
Continuando nuestro razonamiento, µ = ±ω i para un entero racional i.
Supongamos que el signo fuera negativo. Entonces ɛ = −ω i¯ɛ. Tomamos
congruencias en Z[ω] módulo el primo π =1− ω. Observar que ω ≡ 1 (mód π).
Así, ɛ ≡−¯ɛ (mód π). Por otra parte, tomando congruencias en ɛ = r(ω) y
¯ɛ = r(ω −1 ) llegamos a que tanto ɛ como ¯ɛ son congruentes módulo π con la
suma de los coeficientes de r(x), luego ɛ ≡−ɛ (mód π), lo que implica que ɛ ≡ 0
(mód π), es decir, π | ɛ, lo cual es imposible porque π es un primo y ɛ una
unidad. En consecuencia ha de ser ɛ = ω i¯ɛ.
Sea j un entero racional tal que 2j ≡ i (mód p). Entonces ɛ = ω 2j¯ɛ, luego
ɛ/ω j =¯ɛ/ω −j = ɛ/ω −j ∈ R.
Observar que hemos demostrado que las únicas raíces de la unidad de Q(ω)
son las potencias de ω y sus opuestas. Teniendo en cuenta que las únicas raíces
de la unidad reales son ±1, esto está contenido en el enunciado del teorema
anterior.
Teorema 4.28 Sea K el cuerpo ciclotómico de grado p yseaK ′ = K ∩ R.
Entonces un sistema fundamental de unidades para K ′ es también un sistema
fundamental de unidades para K. Si R es el regulador de K y R ′ el regulador
de K ′ , entonces R =2 m−1 R ′ , donde m =(p − 1)/2 es el grado de K ′ .
Demostración: Sea ɛ 1 ,...,ɛ r un sistema fundamental de unidades de K ′ .
Si ɛ es una unidad de K, por el teorema anterior ɛ = ω i η para una cierta unidad
real, o sea, una unidad de K ′ .
Entonces η = ±ɛ m1
1 ···ɛ mr
r , para ciertos enteros racionales m 1 , ..., m r , luego
tenemos la descomposición ɛ = ±ω i ɛ m1
1 ···ɛ mr
r tal y como exige el teorema de
Dirichlet. Falta ver que la expresión es única, pero si tenemos dos expresiones
±ω i ɛ m1
1 ···ɛ mr
r = ±ω j ɛ k1
1 ···ɛkr r entonces ω i−j es una raíz de la unidad real,
luego ω i−j = ±1 y así ɛ m1
1 ···ɛ mr
r = ±ɛ k1
1 ···ɛkr r .
Por la unicidad que nos da el teorema de Dirichlet, el signo ha de ser +1 y
los exponentes han de coincidir.
Sea ahora {ɛ 1 ,...,ɛ m−1 } un sistema fundamental de unidades de K ′ , luego
de K. Los automorfismos de K ′ son todos reales, luego el regulador R ′ es el
módulo del determinante de uno cualquiera de los menores de orden m − 1de
la matriz ( log |σ i (ɛ j )| ) . Por el contrario, los automorfismos de K son todos
complejos, (pero extienden a los de K ′ ) luego el regulador de K es un menor de
la matriz ( log |σ i (ɛ j )| 2) = (2 log |σ i (ɛ j )| ) .Así pues, R =2 m−1 R ′ .