Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.6. La caracterización de los primos regulares 343
Claramente p ∤ s 2 − r 2 =(s + r)(s − r). Así mismo p ∤ (2i)(2i)!. Por el
teorema 13.9 p tampoco divide a los denominadores de los números B 2i . Por
lo tanto, una condición suficiente para que p no divida a det(b ki ) es que p no
divida a los numeradores de los números de bernoulli B 2 , ···,B p−3 . Teniendo
en cuenta los teoremas 13.11 y 13.15 llegamos a la conclusión siguiente:
Teorema 13.18 Si p no divide al primer factor h 1 del número de clases del
cuerpo ciclotómico p-ésimo, entonces los números log θ p−1
k
, k =2,...,m son
una Z p -base del módulo de los enteros p-ádicos reales de traza nula.
Con esto llegamos finalmente al teorema que perseguíamos:
Teorema 13.19 (Kummer) Sea p un primo impar. Las afirmaciones siguientes
son equivalentes:
1. p es regular.
2. p no divide al número de clases h del cuerpo ciclotómico p-ésimo.
3. p no divide al primer factor h 1 del número de clases del cuerpo ciclotómico
p-ésimo.
4. p no divide los numeradores de los números de Bernoulli B 2 ,B 4 ,...,B p−3 .
Demostración: La prueba de que 3) implica 2) está diseminada en los
razonamientos precedentes, pero la repetimos por claridad. Hay que probar que
si p ∤ h 1 entonces p ∤ h 2 .
El teorema 13.12 nos da que h 2 es orden del grupo cociente de las unidades
reales positivas del cuerpo ciclotómico p-ésimo sobre el subgrupo generado por
las unidades θ k , con k =2,...,m=(p − 1)/2.
Si p divide a este orden, entonces el grupo cociente tiene un elemento de
orden p, o sea, existe una unidad ciclotómica ɛ>0 tal que ɛ p cumple (13.7)
para ciertos enteros c k , pero ɛ no es de esa forma.
Que ɛ no sea de esa forma equivale a que algún c k no sea divisible entre p,
pues en caso contrario sería ɛ p = δ p , para una cierta unidad δ de la forma (13.7),
pero entonces ɛ/δ sería una raíz p-ésima de la unidad positiva, lo que sólo es
posible si ɛ = δ.
Como O p /p es el cuerpo de p elementos, se cumple que ɛ p−1 ≡ 1 (mód p)
para toda unidad ɛ, o sea ɛ p−1 es una unidad principal y está definido log ɛ p−1 .
Elevamos a p−1 la ecuación (13.7) y tomamos logaritmos, con lo que obtenemos
(13.8).
Por el teorema 13.14 tenemos que log ɛ p−1 es un entero p-ádico de traza nula,
luego por el teorema 13.18 se expresa de forma única como combinación lineal
de log θ p−1
k
con coeficientes en Z p , pero por (13.8) estos coeficientes han de ser
los números c k /p, luego son enteros p-ádicos, de donde p divide a todos los c k
en Z p , y también en Z.
Con esto tenemos la equivalencia entre 2), 3) y 4), y por la definición de
primo regular 1) implica 2). Vamos a probar que 2) implica 1). Sólo hay