Teoria Numeros C Ivorra Castillo

14.1. El teorema de Lindemann-Weierstrass 351
Entonces
r∑ ∑k i
M ki =
a i
i=1 k=1
(N+1)p
∑
s=p+1
d s−1
(p − 1)!
∫ +∞
0
u s−1 e −u du =
(N+1)p
∑
s=p+1
d s−1
(s − 1)!
(p − 1)! = pC,
para un C ∈ Z. Sólo queda demostrar (14.2).
Sea R tal que todos los números β ij estén contenidos en el disco de centro 0
y radio R. Llamemos
g ki =máx
|z|≤R |bN−2 N f(z)e−z+β ki
|, g =máx
|z|≤R |bN−1 N
y sea g 0 el máximo de todos los números g ki . Entonces
∫ βki
b (N−1)p−1
N
z p−1 f p (z)e −z+β ki
|ɛ ki | =
dz
∣
(p − 1)!
∣
0
zf(z)|,
1
≤
(p − 1)! |β ki||b N−2
N
f(z)e−z+β ki
||b N−1
N zf(z)|p−1 ≤ g 0 R gp−1
(p − 1)! .
Puesto que la última expresión tiende a 0 con p, eligiendo p suficientemente
grande podemos garantizar que se cumple (14.2).
∑
Teorema 14.2 Consideremos números ki
k=1
A ki e α ki
, donde k i ≥ 1, i =1,...,r,
r ≥ 2, A ki ∈ C \{0} y α 1i ,...,α kii son números complejos distintos para cada
i. Si operamos el producto
r∏ ∑k i
N∑
A ki e α ki
= B i e βi ,
i=1 k=1
donde β 1 ,...,β N son distintos dos a dos (es decir, los coeficientes B i se obtienen
multiplicando un A ki para cada i y después sumando todos los productos que
acompañan a un mismo exponente), se cumple que alguno de los coeficientes B i
es no nulo.
Demostración: Ordenemos los números α 1i ,...,α kii según el crecimiento
de sus partes reales y, en caso de igualdad, según el crecimiento de sus partes
imaginarias. Entonces el número α 11 + ···+ α 1r no puede alcanzarse mediante
otra combinación α j11 + ··· + α jrr, pues la parte real de una cualquiera de
estas sumas será mayor o igual que la de la primera, y en caso de igualdad
la parte imaginaria será mayor. Consecuentemente existe un i de modo que
β i = α 11 + ···+ α 1r y el coeficiente B i será exactamente A 11 ···A 1r ≠0.
Teorema 14.3 (Teorema de Lindemann-Weierstrass) Si α 1 ,...,α n son
números algebraicos distintos (n ≥ 2) yc 1 ,...,c n son números algebraicos no
todos nulos, entonces
c 1 e α1 + ···+ c n e αn ≠0.
i=1