Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.1. Convergencia de la función dseta 265
Teorema 11.4 Si y ∈ R st y N(y) ≠0, entonces y admite exactamente m representaciones
de la forma y = xx(ɛ), donde x pertenece al dominio fundamental
de K y ɛ es una unidad de K.
Demostración: Sea l(y) =γl ∗ + γ 1 l(ɛ 1 )+···+ γ r l(ɛ r ). Para j =1,...,r
descompongamos γ j = k j + ξ j , donde k j es un entero racional y 0 ≤ ξ j < 1.
Sea ɛ = ɛ k1
1 ···ɛkr r y x = yx(ɛ −1 ). Entonces y = xx(ɛ), N(x) =N(y) ≠0y
l(x) =l(y)+l(ɛ −1 )=l(y) − k 1 l(ɛ 1 ) −···−k r l(ɛ r )=γl ∗ + ξ 1 l(ɛ 1 )+···+ ξ r l(ɛ r ),
luego x está en el dominio fundamental de K.
Por otra parte, si xx(ɛ) =x ′ x(ɛ ′ ), entonces l(x)+l(ɛ) =l(x ′ )+l(ɛ ′ ). Las
coordenadas de l(ɛ) yl(ɛ ′ ) en la base l(ɛ 1 ),...,l(ɛ r ) son enteros racionales, y las
de l(x) yl(x ′ ) están entre 0 y 1. La unicidad de la parte entera de un número
real nos da que l(ɛ) =l(ɛ ′ ). Consecuentemente ɛ ′ = ɛω, donde ω es una raíz m-
sima de la unidad, y por lo tanto las representaciones de y en la forma indicada
son exactamente y = xx(ɛ)x(ω), donde x y ɛ son fijos y ω recorre las m raíces
de la unidad de K.
Demostración (del teorema 11.3): Si β ∈ K es no nulo entonces por el
teorema anterior existen m representaciones distintas x(β) =xx(ɛ) con x ∈ X
y ɛ una unidad de K. Los números βɛ −1 son m asociados de β que cumplen
x(βɛ −1 )=x ∈ X.
Recíprocamente, cada asociado de βɛ tal que x = x(β)x(ɛ) ∈ X da lugar a
una representación distinta x(β) =xx(ɛ −1 ), luego hay exactamente m.
Antes de seguir con el problema de la convergencia de las funciones dseta
observamos una propiedad importante de los dominios fundamentales:
Si ξ>0esunnúmero real y x ∈ R st tiene norma no nula, entonces
l k (ξx) = log |ξx k | = log ξ + l k (x), para 1 ≤ k ≤ s,
l j (ξx) = log |ξx j | 2 = 2 log ξ + l k (x), para 1 ≤ j ≤ t.
En consecuencia, l(ξx) = log ξl ∗ + l(x) y las coordenadas ξ 1 ,...,ξ r de los
vectores l(ξx) yl(x) en la base l ∗ ,l(ɛ 1 ),...,l(ɛ r ) son las mismas.
Todo esto implica que si el dominio fundamental de K contiene a un vector
x, también contiene a todos sus múltiplos positivos. Los subconjuntos de R st
con esta propiedad se llaman conos.
Recordemos que estamos buscando una estimación de la función j C (r), que
puede calcularse como el número de ideales principales (α) tales que α ∈ b
y | N(α)| ≤ r N(b). Si llamamos M a la imagen de b por la representación
geométrica, que es un retículo completo de R n , cada ideal tiene exactamente
m generadores en el dominio fundamental X, luego mj C (r) eselnúmero de
vectores x ∈ M ∩ X que cumplen | N(x)| ≤r N(b).
Llamemos T = {x ∈ X ||N(x)| ≤1}. Teniendo en cuenta que si r>0es
un número real entonces N(rx) =r n N(x) (donde n es el grado de K), así como
que X es un cono, resulta que
{ ( )
( )∣ }
{x ∈ X ||N(x)| ≤r} = n√ x r √ ∈ X |
x ∣∣∣
n
r ∣ N √ ≤ 1 = n√ rT,
n
r