Teoria Numeros C Ivorra Castillo

1.6. Ecuaciones diofánticas 13
un cambio de perspectiva muy importante. Con todo, el problema no es simple.
Buena muestra de ello es que la menor solución de la ecuación x 2 − 61y 2 =1es
la dada por x =1.766.319.049, y = 226.153.980.
Lo que hemos ganado es que ahora podemos dar un tratamiento sistemático
al problema. Es prácticamente imposible trabajar en general con una ecuación
con coeficientes indeterminados, pero es muy cómodo teorizar sobre extensiones
de Galois. Más aún, un estudio directo de una ecuación de grado 2 sería
difícilmente generalizable a ecuaciones de grados superiores, mientras que en
lugar de trabajar concretamente con ecuaciones del tipo (1.5), podemos considerar
ecuaciones similares definidas por normas de extensiones arbitrarias de
Q, sin que ello suponga apenas ningún esfuerzo adicional. Ello nos llevará aun
método para resolver una familia de ecuaciones diofánticas que incluye todas las
del tipo (1.4), pero también muchas otras de grados arbitrariamente grandes.
Vamos a plantear el problema en toda su generalidad:
Sea K una extensión finita de Q, es decir, K es un cuerpo tal que Q ⊂ K ⊂ C
y como espacio vectorial sobre Q tiene dimensión finita (en el caso anterior sería
K = Q (√ D ) , que tiene dimensión 2 sobre Q). Un cuerpo en estas condiciones
se denomina cuerpo numérico.
La teoría de Galois nos da que la extensión tiene un elemento primitivo,
es decir, existe un ζ ∈ K tal que K = Q(ζ) (en el caso anterior ζ = √ D ).
Todo elemento de K es algebraico sobre Q, es decir, para cada α ∈ K existe un
único polinomio mónico irreducible p(x) ∈ Q[x] tal que p(a) = 0. Además p(x)
divide a cualquier polinomio de Q[x] que tenga a α por raíz. A este polinomio
lo llamaremos polinomio mínimo de α y lo abreviaremos por pol mín α.
En particular el grado de pol mín ζ es el grado de K, es decir, la dimensión
de K como Q-espacio vectorial. Llamémoslo n.
La teoría de Galois nos da también que pol mín ζ tiene n raíces distintas en
C, llamémoslas ζ 1 ,...,ζ n (con ζ = ζ 1 ), así como que para i =1,...,n existe un
isomorfismo σ i : K −→ Q(ζ i ) tal que σ i (ζ) =ζ i .Esfácil ver que σ 1 ,...,σ n son
los únicos monomorfismos de K en C, luego no dependen de la elección de ζ.
(En el caso anterior los conjugados de √ D son ± √ D y los monomorfismos
son la identidad y la conjugación que envía √ D a − √ D. De hecho son isomorfismos,
aunque si K no es una extensión de Galois puede ocurrir que Q(ζ i )no
esté contenido en K).
El cuerpo L = Q(ζ 1 ,...,ζ n )eslaclausura normal de K, es decir, la menor
extensión de Galois sobre Q que contiene a K. Los monomorfismos σ i son las
restricciones a K de los automorfismos de L.
Si σ es un automorfismo de L, entonces σ i ◦ σ es un monomorfismo de K,
luego se trata de uno de los σ j . Además si i ≠ j, entonces σ i ◦ σ ≠ σ j ◦ σ (pues
difieren sobre ζ). Por lo tanto la composición con σ permuta los monomorfismos
σ i . El cuerpo K tiene asociada una norma N : K −→ Q definida por
N(α) =σ 1 (α) ···σ n (α).
La norma de un número α es ciertamente un número racional, debido a que
cualquier automorfismo σ de L permuta los factores de N(α), y por consiguiente