Teoria Numeros C Ivorra Castillo

5.3. Transformaciones modulares 119
modulares. Las inversas y la composición de transformaciones modulares son
de nuevo transformaciones modulares, por lo que la equivalencia de números
irracionales (y en general la de números reales) es una relación de equivalencia.
Los teoremas 5.3 y 5.8 nos dan que la transformación α =[a 0 ,...,a n ,β]es
modular, dada concretamente por
α = βp n + p n−1
.
βq n + q n−1
El teorema siguiente caracteriza las transformaciones modulares que se pueden
expresar de esta forma.
Teorema 5.12 Si una transformación modular (5.3) cumple c>d>0 entonces
se puede expresar de la forma α =[a 0 ,...,a n ,β] para ciertos enteros
racionales a 0 ,...,a n , todos positivos salvo quizá el primero.
Demostración: Hay que probar que existen a 0 ,...,a n tales que
p n = a, p n−1 = b, q n = c, q n−1 = d. (5.4)
Lo probaremos por inducción sobre d.
Si d = 1 tenemos que a = bc ± 1. En el caso a = bc + 1 sirve α =[b, c, β]. Si
se cumple a = bc − 1, entonces α =[b − 1, 1,c− 1,β].
Supongamos ahora que d>1. Aplicando el teorema 5.2, las ecuaciones (5.4)
equivalen a
p n−1 = b, p n−2 = a − a n b, q n−1 = d, q n−2 = c − a n d. (5.5)
Se sigue cumpliendo b(c − a n d) − (a − a n b)d = ±1 para cualquier a n ,ypor
hipótesis de inducción (5.5) tendrá solución si garantizamos d>c− a n d>0, o
equivalentemente, si c/d > a n > (c − d)/d.
Notemos que c/d no puede ser entero, pues si c = kd entonces d | 1. Como
c/d − (c − d)/d = 1, podemos tomar un número natural a n en estas condiciones
yasí se cumple el teorema.
Teorema 5.13 Dos números irracionales α y β son equivalentes si y sólo si
sus desarrollos en fracción continua son finalmente iguales, es decir, si
α =[a 0 ,...,a m ,c 0 ,c 1 ,... ], β =[b 0 ,...,b n ,c 0 ,c 1 ,... ].
Demostración: El teorema 5.8 nos da que en estas condiciones tanto α
como β son equivalentes al número [c 0 ,c 1 ,... ], luego son equivalentes entre sí.
Supongamos ahora que α y β son equivalentes. Digamos que
α = aβ + b , ad− bc = ±1.
cβ + d
Podemos suponer que cβ + d>0. Sea β =[b 0 ,...,b k−1 ,β k ], donde β k =
[b k ,b k+1 ,... ]. Entonces:
β = β′ k p k−1 + p k−2
β ′ k q k−1 + q k−2
.