Teoria Numeros C Ivorra Castillo

7.4. Series en cuerpos no arquimedianos 177
v(c nm y m ) tiende a infinito para cada n. En definitiva, existe un m 0 tal que si
n ≥ n 0 o m ≥ m 0 entonces v(c nm y m ) es arbitrariamente grande. Esto garantiza
la convergencia de la serie doble
(g ◦ f)(y) =a 0 +
∞∑
k=1 n=1
k∑
c nk y k
y, como entonces podemos reordenar los sumandos, resulta que
(g ◦ f)(y) =
∞∑ ∞∑
∞∑
c nk y k ( ) n ( )
= a n g(y) = f g(y) .
n=0 k=n
n=0
Ahora aplicamos los resultados que hemos obtenido al estudio de dos series
concretas muy importantes. Partamos de un cuerpo numérico K y p un ideal
primo de su anillo de enteros. Sea p el primo racional divisible entre p. Digamos
que p = p e a, para cierto ideal a primo con p. Es claro entonces que se cumple
la relación v p (r) =ev p (r) para todo número racional r.
Vamos a estudiar el comportamiento de las series de potencias en K p
exp x =
∞∑
n=0
x n
∞
n! , log(1 + x) = ∑
n=1
(−1) n+1
x n .
n
En primer lugar calcularemos su dominio de convergencia. Claramente
v p (n!) = E(n/p)+E(n/p 2 )+···,
donde E denota la parte entera (observar que E(n/p i )eselnúmero de múltiplos
de p i menores que n), luego
v p (n!) = e(E(n/p)+E(n/p 2 )+···) n v p (x) −
e )
.
n!
p − 1
Si v p (x) >e/(p − 1), entonces v p (x n /n!) tiende a infinito y exp x converge.
Por el contrario, si v p (x) ≤ e/(p − 1), para n = p m tenemos
( ) x
n
v p
n!
= nv p (x) − e(p m−1 + ···+ p +1)=nv p (x) − e n − 1
p − 1
(
= n v p (x) −
e )
+ e
p − 1 p − 1 ≤ e
p − 1 ,
luego el término general de exp x noconvergea0ylaserie diverge.