Teoria Numeros C Ivorra Castillo

18 Capítulo 1. Introducción a la teoría algebraica de números
Si F ∗ (x 1 ,...,x r ) es una forma irreducible factorizable de grado n, por el
teorema 1.5 podemos suponer que el coeficiente de x n 1 es no nulo, y entonces F ∗
factoriza como
F ∗ = A(x 1 + β 12 x 2 + ···+ β 1r x r ) ···(x 1 + β n2 x 2 + ···+ β nr x r ).
Consideremos el cuerpo K = Q(β 12 ,...,β 1r ) y la forma irreducible F =
N(x 1 + β 12 x 2 + ···+ β 1r x r ).
Tenemos que la forma (x 1 +β 12 x 2 +···+β 1r x r ) divide a F yaF ∗ . Aplicando
los monomorfismos de K obtenemos que todos los factores de F dividen a F ∗
y en la prueba de la parte anterior hemos visto que son primos entre sí, luego
F divide a F ∗ . Como F ∗ es irreducible ha de ser un múltiplo de F por una
constante.
1.8 Conclusión
El resto de este libro está dedicado a desarrollar las técnicas algebraicas y
analíticas que permiten abordar los distintos problemas que hemos citado en
este breve recorrido por la teoría de números del siglo XIX. Encontraremos
un método para resolver las ecuaciones diofánticas del tipo estudiado en las
secciones anteriores, conoceremos la teoría de Gauss sobre formas cuadráticas,
incluyendo la ley de reciprocidad, determinaremos los enteros que son sumas
de dos, tres y cuatro cuadrados, probaremos los resultados más importantes de
Kummer sobre el teorema de Fermat, así como el teorema de Dirichlet sobre
primos en progresiones aritméticas. Todo ello lo obtendremos desde el marco
de la teoría general de cuerpos numéricos, que fue desarrollada por Dedekind
a finales del siglo XIX generalizando y unificando los razonamientos de sus
antecesores. Excepcionalmente haremos una incursión en la teoría moderna.
Demostraremos el teorema de Hasse Minkowski sobre clasificación de formas
cuadráticas, con el que obtendremos, si no la última palabra, sí una visión
bastante profunda de la ley de reciprocidad cuadrática.
El último capítulo contiene algunos resultados de la teoría de números trascendentes.
Concretamente probamos el teorema de Lindemann–Weierstrass,
que generaliza las pruebas de trascendencia de e y π, y el teorema de Gelfond–
Schneider, que resuelve una parte del séptimo problema de Hilbert. La teoría
de números trascendentes es mucho más ardua que la de números algebraicos,
y en muchas ocasiones requiere a ésta como herramienta a un nivel mucho más
elevado que el de este libro. Sirvan los ejemplos presentados como una pequeña
y parcial muestra de sus técnicas.