Teoria Numeros C Ivorra Castillo

3.2. Divisibilidad ideal en órdenes numéricos 63
es una extensión finita de Galois de Q y σ ∈ G(K/Q), es claro que la imagen
σ[a] de un ideal fraccional cualquiera de K es de nuevo un ideal fraccional, que
será un ideal (entero) si y sólo si lo es a. Así pues, podemos extender a σ aun
automorfismo del grupo de los ideales fraccionales de K dado por σ(a) =σ[a].
Decimos ‘extender’ porque la acción sobre los ideales es consistente con la acción
sobre elementos reales en el sentido de que σ ( (α) ) = ( σ(α) ) , para todo α ∈ K
no nulo.
Diremos que dos ideales fraccionales a y b son conjugados si existe un automorfismo
σ ∈ G(K/Q) tal que σ(a) =b.
Teorema 3.17 Sea K una extensión de Galois de grado n sobre Q yseap un
primo racional. Entonces la factorización de p en K es de la forma
p =(p 1 ···p r ) e , (3.2)
donde los ideales p i son primos distintos, forman una clase de conjugación y
todos tienen la misma norma N(p i )=p f , para un cierto f tal que efr = n.
Demostración: Es obvio que si p | p, entonces todo conjugado de p cumple
lo mismo. Veamos que cualquier otro divisor q de p es un conjugado de p.
Supongamos, por reducción al absurdo, que σ(p) ≠ q para todo automorfismo
σ. Por el teorema chino del resto existe un α ∈ O K tal que
α ≡ 0(mód q),
α ≡ 1(mód σ(p)) para todo σ ∈ G(K/Q).
Pero entonces q | α | N(α), luego p | N(α), luego p | N(α) y por consiguiente
p | σ(α) para algún σ ∈ G(K/Q), de donde σ −1 (p) | α, contradicción.
Es claro que el exponente de un primo p en la descomposición en primos de
p debe ser el mismo que el de todos sus conjugados. Como todos los divisores
primos de p son conjugados, de hecho todos tienen el mismo exponente e, luego
la factorización es del tipo (3.2). También es obvio que primos conjugados tienen
la misma norma, necesariamente potencia de p. La igualdad n = efr se sigue
de tomar normas en ambos miembros de (3.2).
En particular, el teorema anterior afirma que dos primos de un cuerpo
numérico normal son conjugados si y sólo si dividen al mismo primo racional,
siysólo si tienen la misma norma. Otra consecuencia interesante es el teorema
siguiente:
Teorema 3.18 Sea K una extensión finita de Galois de Q y a un ideal fraccional
de K. Entonces
N(a) = ∏ σ(a), (3.3)
σ
donde σ recorre los automorfismos de K.