Teoria Numeros C Ivorra Castillo

224 Capítulo 9. La teoría de los géneros
Teorema 9.17 Si dos módulos M y M ′ del orden O m de un cuerpo cuadrático
K son del mismo género, entonces existe un γ ∈ K de norma positiva tal que
N(M) =N(γ) N(M ′ ). Si el orden es el maximal (m =1) entonces el recíproco
también es cierto.
Demostración: Sea M = 〈u, v〉, M ′ = 〈u ′ ,v ′ 〉. Las formas asociadas a
estos módulos son
f(x, y) =
N(ux + vy)
N(M)
y g(x, y) = N(u′ x + v ′ y)
N(M ′ .
)
Si módulos son del mismo género entonces las formas f y g son racionalmente
equivalentes (y el recíproco es cierto si el orden es maximal). Por el teorema
8.8, esto ocurre si y sólo si ambas formas representan racionalmente a un mismo
número, es decir, si y sólo si existen números racionales no nulos r, s, r ′ , s ′ tales
que N(ur + vs)/ N(M) =N(u ′ r ′ + v ′ s ′ )/ N(M ′ ) o, en otros términos, si y sólo si
existen elementos no nulos ξ y ξ ′ en K tales que N(ξ)/ N(M) =N(ξ ′ )/ N(M ′ )
o, equivalentemente N(M) = N(M ′ )N(ξ/ξ ′ ). Entonces γ = ξ/ξ ′ cumple el
teorema.
Ejercicio: Probar que, en un orden cuadrático arbitrario, dos ideales con la misma
norma son del mismo género (tener en cuenta que dos ideales primos con la misma
norma son conjugados, y que dos ideales conjugados son del mismo género).
9.3 El número de géneros
En esta sección demostraremos la ley de reciprocidad cuadrática contando
el número de géneros. De acuerdo con el teorema 9.15 es suficiente probar que
en un orden maximal el número de géneros g es a lo sumo 2 m−1 , donde m es el
número de primos que dividen al discriminante.
Para ello nos basaremos en la siguiente observación trivial: Si C es una clase
de similitud estricta (no necesariamente de un orden maximal), entonces C 2
pertenece al género principal, pues para cualquier carácter se cumple χ p (C 2 )=
χ p (C) 2 =1. Así, si llamamos H al grupo de clases, H 2 al subgrupo de los
cuadrados y G 0 al género principal, tenemos que g = |H : G 0 |≤|H : C 2 |, luego
basta probar que este último índice es a lo sumo 2 m−1 .
En realidad el número de géneros es géneros es exactamente igual a 2 m−1 ,y
este hecho tiene interés teórico por sí mismo. Para probarlo necesitamos probar
a su vez que el género principal coincide con el grupo de los cuadrados. Esto
se conoce como teorema de duplicación de Gauss. Demostramos primero un
resultado técnico que podemos evitar si nos restringimos a órdenes maximales
(el único caso necesario para determinar el número de géneros y probar la ley
de reciprocidad).
Teorema 9.18 Sea K un cuerpo cuadrático y m un número natural. Si existe
un γ ∈ K no nulo cuya norma es positiva y se expresa como cociente de enteros
primos con m, entonces γ puede escogerse de la forma γ = α/β, donde α y β
son enteros de norma positiva prima con m.