Teoria Numeros C Ivorra Castillo

3.3. Ejemplos de factorizaciones ideales 65
Cuerpos ciclotómicos El comportamiento de los primos racionales en los
cuerpos ciclotómicos se sigue del siguiente hecho elemental sobre extensiones
ciclotómicas de cuerpos finitos:
Teorema 3.19 Sea k = Z/pZ para un cierto primo p yseaω una raíz m-sima
primitiva de la unidad sobre Z/pZ, donde p ∤ m. Entonces |k(ω) :k| es igual al
orden de p módulo m.
Demostración: Sea n = |k(ω) :k|. Puesto que ω tiene orden m en el grupo
multiplicativo de k(ω), que tiene p n − 1 elementos, concluimos que m | p n − 1,
luego o m (p) | n.
Por otra parte, todo elemento de k(ω) es de la forma h(ω), donde h(x) ∈ k[x].
Si llamamos r =o m (p) es claro que h(ω) pr = h(ω pr )=h(ω), luego todos los
elementos de k(ω) son raíces del polinomio x pr − x, de donde se sigue que
p n ≤ p r , o sea, n ≤ o m (p),yasí tenemos la igualdad.
Teorema 3.20 Sea K = Q(ω) el cuerpo ciclotómico de orden m y p un primo
racional. Sea m = p i m ′ , donde p ∤ m ′ . Entonces la factorización de p en K es
de la forma (3.2), donde f =o m ′(p), e = φ(p i ) y r = φ(m)/ef.
Demostración: Sea ω p = ω m′ y ω m ′ = ω pi , que son raíces primitivas
de la unidad de orden p i y m ′ , respectivamente. Determinaremos primero las
factorizaciones de p en Q(ω p )yQ(ω m ′).
Supongamos que i ≠ 0. Las raíces p i -ésimas primitivas de la unidad son las
raíces de x pi − 1 que no lo son de x pi−1 − 1, luego el polinomio ciclotómico es
x pi − 1
x pi−1 − 1 = (p−1) xpi−1 + x pi−1 (p−2) + ···+ x pi−1 +1.
Evaluando en 1 queda p = ∏ (1 − ωp)=N(1 j − ω p ), donde j recorre los
j
números menores que p j no divisibles entre p. Ésta es la descomposición de p
en factores primos de Q(ω p ). Veamos que todos los factores son asociados. En
efecto, como (1 − ωp)/(1 j − ω p )=1+ω p + ···+ ωp
j−1 es entero y los dos son
primos, el cociente es de hecho una unidad, luego cada factor 1 − ωp j es asociado
a1− ω p .
Por consiguiente, la factorización de p es de la forma p = ɛ(1 − ω p ) φ(pi) ,
donde ɛ es una unidad. El número 1 − ω p no tiene por qué ser primo en Q(ω),
pero esto prueba al menos que e ≥ φ(p i ).
Supongamos ahora que m ′ ≠ 1. Por el teorema 2.30 p ∤ ∆[ω m ′], luego en
particular p ∤ índ ω m ′. Podemos aplicar el teorema 3.16 al orden Z[ω m ′]. El
polinomio x m′ − 1 tiene raíces simples módulo p, luego p se descompondrá en
primos distintos. Veamos que si p es uno de los divisores de p y N(p) =p t ,
entonces t =o m ′(p).
Por 3.16 sabemos que t es el grado de uno de los factores irreducibles de
pol mín ω m ′ módulo p, que a su vez es el grado de la extensión ciclotómica
p-ésima de Z/pZ. Según el teorema anterior, t tiene el valor indicado.