Teoria Numeros C Ivorra Castillo

6.4. Ecuaciones diofánticas cuadráticas 147
En los órdenes maximales (o en órdenes cualesquiera cuando buscamos ideales
de norma prima con el índice) es más fácil plantear todas las factorizaciones
posibles en ideales primos y encontrar tales primos factorizando los primos racionales.
Después hemos de plantear la igualdad a = ξM −1 , descartar los ideales para
los que no hay solución y encontrar los valores de ξ cuando la hay. Esto es
precisamente lo que nos falta resolver.
Ejemplo Consideremos la ecuación 17x 2 +32xy +14y 2 = 9. Su discriminante
es D =72=4· 9 · 2, luego está asociada a un módulo del orden O 3 de Q (√ 2 ) .
Para calcular este módulo factorizamos la forma cuadrática:
(
)(
)
17x 2 +32xy +14y 2 = x + 16 + 3√ 2
y x + 16 − 3√ 2
y
17
17
= 1 ( ( √ ) )( ( √ ) )
17x + 16 + 3 2 y 17x + 16 − 3 2 y .
17
Por lo tanto podemos tomar M = 〈 17, 16 + 3 √ 2 〉 , de norma 17. Claramente
entonces
M −1 = 1 17
〈
17, 16 − 3 √ 〈
〉
〉
2 = 1, 16 − 2√ 2
.
17
Ahora buscamos todos los ideales de O 3 de norma 9. Esto significa buscar los
números (a, b, c) que cumplen 9 = as 2 , b 2 − 4ac = 72, (a, b, c) =1,−a ≤ b