Teoria Numeros C Ivorra Castillo

4.4. El grupo de clases 87
Ejercicio:
Aplicar el teorema de Minkowski a los conjuntos
A = { x ∈ R st ∣ ∣ |x1| < √ |∆|, |x i| < 1(2≤ i ≤ s + t) } si s ≠0
A = { x ∈ R 0t ∣ ∣ | Re x1| < 1 2 , | Im x1| < √ |∆|, |x i| < 1(2≤ i ≤ t) } si s =0
para probar que todo cuerpo numérico contiene un elemento primitivo entero los coeficientes
de cuyo polinomio mínimo están acotados por una cantidad que depende sólo
de n y ∆. Concluir que hay un número finito de cuerpos numéricos con un mismo
discriminante dado (Teorema de Hermite). Observar que este argumento nos permite
obtener explícitamente tales cuerpos.
El teorema 4.12 tiene una consecuencia más importante que las que acabamos
de obtener:
Teorema 4.14 Sea K un cuerpo numérico de grado n = s+2t y discriminante
∆. Entonces todo ideal de K es similar a otro ideal a tal que
( ) t 4 n! √
N(a) ≤
|∆|.
π n n
Demostración: Sea b un ideal de K. El ideal fraccional b −1 es de la forma
β −1 c, para cierto entero β y cierto ideal c. Sea γ ∈ c tal que
( ) ∣ t √
∣ N(γ) 4 n! ∣∣∆[c] ∣
≤ ∣,
π n n
según el teorema 4.12.
√ ∣∣∆[c] ∣ √
Según la definición de norma de un módulo, tenemos = N(c) |∆|.
Como γ ∈ c se cumple que c | γ, luego (γ) =ca para cierto ideal a. Por lo tanto
a = γc −1 = γβ −1 b, luego a es un ideal equivalente a b, y además
N(a) = N( (γ) )
N(c)
=
√ ∣∣∆ ∣
∣ N(γ)| ( ) t 4 n! √
√ ∣∣∆[c] ∣ ≤
|∆|.
π n n
El interés de esto reside en que, según el teorema 3.15, sólo hay un número
finito de ideales de una norma dada, luego hemos probado el conjunto de las
clases de similitud de ideales del orden maximal de un cuerpo dado es finito.
Dedicamos la próxima sección a analizar las implicaciones de este hecho.
4.4 El grupo de clases
Dado un cuerpo numérico K, consideremos el grupo abeliano de los ideales
fraccionales de K. Recordemos que los ideales fraccionales no son sino los
módulos completos cuyo anillo de coeficientes es el orden maximal de K. Entre