Teoria Numeros C Ivorra Castillo

170 Capítulo 7. Números p-ádicos
Del mismo modo concluimos que x k+1 = y k+1 , e inductivamente llegamos a que
todos los coeficientes coinciden. La completitud de K implica la convergencia
de las series.
En particular, en las condiciones del teorema anterior, α es entero si y sólo
si k ≥ 0. Si no es así, α se descompone como
∑−1
∞∑
α = x n π n + x n π n ,
n=k
es decir, el su desarrollo en serie de potencias tiene una parte fraccionaria finita
y una parte entera infinita, al contrario que el desarrollo decimal de los números
reales.
Ejercicio: Sea p un primo racional y considerar en el cuerpo Q p las representaciones
de la forma (7.1)con π = p y0≤ x n