Teoria Numeros C Ivorra Castillo

11.2. Productos de Euler 277
existencia de infinitos primos que se escinden, pero no vamos a usar este hecho
para no ocultar la idea principal.
Consideramos los dos factores de la función ζ K (s), es decir, las funciones
ζ(s) yL(s, χ K ). El argumento del teorema 11.10 es aplicable a ambas, lo que
nos da las ecuaciones
log ζ(s) = ∑ p
log L(s, χ K ) = ∑ p
1
p s + G 1(s),
χ K (p)
p s
+ G 2 (s),
donde G 1 y G 2 son funciones acotadas en ]1, 2].
Llamemos A y B a los conjuntos de primos que se escinden y conservan,
respectivamente. Entonces A y B cubren todos los primos salvo un número finito
de ellos. Si en la primera ecuación separamos los sumandos 1/p correspondientes
aéstos y los incorporamos a G 1 (s), tenemos
log ζ(s) = ∑ 1
p s + ∑ 1
p s + G 1(s),
p∈A p∈B
log L(s, χ K ) = ∑ 1
p s − ∑ 1
p s + G 2(s),
p∈A p∈B
Sumando y restando ambas ecuaciones concluimos ninguna de las dos series
está acotada cuando s tiende a 1, y por lo tanto las dos series
∑
p∈A
1
p
y
son divergentes.
Si llamamos m al valor absoluto del discriminante de K, el carácter χ K divide
las clases de U m en dos conjuntos. Lo que hemos probado es que hay infinitos
primos en cada uno de los dos grupos de clases. Para probar el teorema de
Dirichlet hemos de refinar el argumento para distinguir cada una de las clases
de U m . Esto lo lograremos sustituyendo los cuerpos cuadráticos por cuerpos
ciclotómicos.
Notemos que en la prueba anterior no interviene la función dseta de K,
sino tan sólo las funciones ζ y L, que sólo involucran números enteros y el
carácter χ K . Esto puede hacer pensar que la prueba no depende de la teoría
de cuerpos cuadráticos. En efecto, la mayor parte de la prueba anterior (así
como la del teorema de Dirichlet) puede basarse en argumentos sobre series de
carácter elemental. El único punto no trivial, que nosotros hemos justificado
con ayuda de la función ζ K , es que L(1,χ K ) ≠ 0. Esto también puede probarse
mediante técnicas analíticas, pero ya no es trivial. Es necesario usar la teoría de
funciones holomorfas. Aún así, la prueba analítica del teorema de Dirichlet es
más elemental que la que nosotros daremos, pero ésta es la original de Dirichlet
∑
p∈B
1
p