Teoria Numeros C Ivorra Castillo

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180 Capítulo 7. Números p-ádicos exactamente las unidades p-ádicas congruentes con 1 módulo p. A estas unidades se las llama unidades principales de Q p . Así pues, las funciones exponencial y logarítmica p-ádicas son isomorfismos entre el grupo aditivo de los enteros p- ádicos múltiplos de p y el grupo multiplicativo de las unidades principales. Si p = 2 se cumple κ = 2, y en efecto el logaritmo no es biyectivo en todo su dominio: log 1 = log(−1) = 0.
Capítulo VIII El teorema de Hasse-Minkowski En este capítulo probaremos el teorema de Hasse-Minkowski, en el cual se basará el tratamiento que daremos en el capítulo siguiente a la teoría de Gauss sobre géneros de formas cuadráticas. Históricamente, este teorema fue la primera muestra relevante de la importancia de los números p-ádicos en la teoría algebraica de números. Para alcanzar nuestro objetivo conviene que expongamos los hechos básicos sobre formas cuadráticas en un cuerpo arbitrario K. 8.1 Formas cuadráticas En todo lo que sigue se entenderá que K es un cuerpo, del que tan sólo supondremos que su característica es distinta de 2. Definición 8.1 Una forma cuadrática sobre K es un polinomio homogéneo de grado 2, es decir, una suma de monomios de grado 2. Por ejemplo: 3x 2 − 2y 2 +6xz − 12xy +5yz es una forma cuadrática sobre Q con tres variables. En el capítulo VI considerábamos tan sólo formas cuadráticas binarias sobre el anillo Z. Observar que la forma anterior puede escribirse como 3x 2 − 2y 2 +0z 2 − 6xy − 6yx +3xz +3zx +(5/2)yz +(5/2)zy ⎛ 3 −6 3 ⎞ ⎛ ⎞ x =(x, y, z) ⎝ −6 −2 5/2 ⎠ ⎝ y ⎠ , 3 5/2 0 z y en general toda forma cuadrática se puede expresar de la forma f(x 1 ,...,x n )=(x 1 ,...,x n )A(x 1 ,...,x n ) t , donde A es una matriz simétrica en K unívocamente determinada por f. 181
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Capítulo II Cuerpos numéricos El
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