Teoria Numeros C Ivorra Castillo

Capítulo XIII
Cuerpos ciclotómicos
En este capítulo obtendremos la fórmula analítica para el número de clases
de los cuerpos ciclotómicos de orden primo y de su análisis obtendremos la
caracterización de Kummer de los primos regulares.
13.1 La fórmula del número de clases
Sea p un primo impar. Sea K = Q(ω) el cuerpo ciclotómico de grado p y
sea K ∗ = K ∩ R. Sea m =(p − 1)/2 el grado de K ∗ . Partimos de las fórmulas
que obtuvimos en el capítulo XI para el número de clases de ambos cuerpos
(teoremas 11.26 y 11.32):
√ p
p
h =
2 m−1 π m R
∏
L(1,χ), h ∗ =
χ≠1
√ p
m−1
2 m−1 R ∗ ∏
χ(1)=1
χ≠1
L(1,χ).
El teorema 4.28 nos da además la relación R =2 m−1 R ∗ entre los reguladores,
lo que nos permite expresar h en la forma
h =
√ p
m+2
2 m−1 π m ∏
χ(1)=−1
L(1,χ) h ∗ .
Puesto que h y h ∗ son números naturales las fórmulas no se alteran si sustituimos
las funciones L por sus módulos (recordemos que en sus desarrollos
aparecen sumas de Gauss, de las que sólo conocemos los módulos). Vamos usar
la notación clásica introducida por Kummer, según la cual el número de clases
se descompone como h = h 1 h 2 , donde
h 1 =
√ p
m+2
2 m−1 π m ∏
χ(1)=−1
|L(1,χ)|, h 2 =
315
√ p
m−1
2 m−1 R ∗ ∏
χ(1)=1
χ≠1
|L(1,χ)|.