Teoria Numeros C Ivorra Castillo

178 Capítulo 7. Números p-ádicos
Concluimos que la serie exp x converge exactamente en p κ , siendo
( ) e
κ = E +1.
p − 1
La fórmula del producto de series nos da sin dificultad que para todo par de
elementos de p κ se cumple exp(x + y) = exp x exp y.
Nos ocupamos ahora del logaritmo. Si v p (x) ≤ 0 es claro que el término
general de log(1 + x) noconvergea0.Siv p (x) ≥ 1 entonces para cada natural
n = p a m se cumple que p a ≤ n y v p (n) =ea ≤ e(log n/ log p). Por lo tanto
v p
( x
n
n
)
= nv p (x) − v p (n) ≥ nv p (x) − e log n
log p ,
y la expresión de la derecha tiende a infinito con n, lo que significa que el término
general de log(1 + x) tiende a 0 y en consecuencia la serie converge.
La conclusión es que log(1 + x) converge exactamente cuando v p (x) ≥ 1o,
lo que es lo mismo, log x está definido en 1 + p. Probemos que si ɛ 1 ,ɛ 2 ∈ 1+p,
entonces log ɛ 1 ɛ 2 = log ɛ 1 + log ɛ 2 .
En efecto, sea ɛ 1 =1+x, ɛ 2 =1+y. Supongamos que v p (y) ≥ v p (x), de
modo que y = tx, con v p (t) ≥ 0 (suponemos x ≠ 0, pues en caso contrario el
resultado es trivial).
Vamos a considerar paralelamente el caso en que t y x son números complejos
de módulo menor que 1. En cualquier caso se cumple
(1 + x)(1 + y)=1+(t +1)x + tx 2 .
Consideramos (t +1)x + tx 2 como una serie de potencias en x. Puesto que
v p (x) ≥ 1, el teorema 7.24 nos da que
log ɛ 1 ɛ 2 =
∞∑
c k (t)x k ,
k=1
donde c k (t) es un cierto polinomio en t con coeficientes racionales. Esto también
es cierto (con el mismo polinomio) en el caso complejo.
También en ambos casos se cumple
log ɛ 1 + log ɛ 2 = log(1 + x) + log(1 + tx) =
∞∑ (−1) k+1
(1 + t k )x k .
k
Pero en el caso complejo sabemos que ambas series son iguales, luego
c k (t) = (−1)k+1 (1 + t k )
k
para todo número complejo t tal que |t| < 1, pero esto implica que ambos
polinomios son idénticos, luego la igualdad es cierta también cuando t está en
K, y de aquí se sigue la igualdad de las series en este caso último caso.
Con esto hemos demostrado el teorema siguiente:
k=1