Teoria Numeros C Ivorra Castillo

13.6. La caracterización de los primos regulares 345
Ahora (13.19) implica que ɛ a es la potencia p-ésima de otra unidad, ɛ a = δ p .
Sean u y v enteros tales que au + vp = 1. Entonces
ɛ =(ɛ a ) u (ɛ v ) p =(δ p ) u (ɛ v ) p =(δ u ɛ v ) p ,
luego efectivamente es una potencia p-ésima.
Con esto hemos llegado al resultado de Kummer sobre el teorema de Fermat
en su forma definitiva. En particular, hemos demostrado que el último teorema
de Fermat es cierto para todos los exponentes menores que 100 salvo quizá
para 37, 59, 67 y 74. Las estadísticas indican que la proporción de primos
regulares es mayor que la de primos irregulares. Por ejemplo, de los 549 primos
impares menores que 4.000 hay 334 primos regulares, lo que supone un 61%
aproximadamente. Pese a ello no se sabe si el número de primos regulares
es finito o infinito. Por el contrario se puede probar que hay infinitos primos
irregulares.
Tabla 13.2: Primos irregulares menores que 1.000.
Se indica también el menor índice 2i tal que p divide al numerador de B 2i.
p 2i p 2i p 2i p 2i p 2i p 2i p 2i
37 32 257 164 379 100 491 292 613 522 683 32 811 544
59 44 263 100 389 200 523 400 617 20 691 12 821 744
67 58 271 84 401 382 541 86 619 428 727 378 827 102
101 68 283 20 409 126 547 270 631 80 751 290 839 66
103 24 293 156 421 240 557 222 647 236 757 514 877 868
131 22 307 88 433 366 577 52 653 48 761 260 881 162
149 130 311 292 461 196 587 90 659 224 773 732 887 418
157 62 347 280 463 130 593 22 673 408 797 220 929 520
233 84 353 186 467 94 607 592 677 628 809 330 963 156
971 166
(Hay un total de 168 primos menores que 1.000. El porcentaje de primos regulares en
este intervalo es del 61, 9%).